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《一致連續(xù)函數(shù)的判定 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、一致連續(xù)函數(shù)的判定摘要:函數(shù)在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個(gè)不同的概念,后者是一個(gè)局部性概念,前者具有整體性質(zhì),它刻畫(huà)了函數(shù)f(x)在區(qū)間I上變化的相對(duì)均勻性.給出了幾個(gè)判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法,本文是通過(guò)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)尋求一致連續(xù)函數(shù)的判定十五種判別方法.關(guān)鍵詞:函數(shù);連續(xù);一致連續(xù);收斂引言:函數(shù)的一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念.連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的性質(zhì).以一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴(yán)格,在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù),但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。因此我去總結(jié)了通過(guò)函數(shù)的連續(xù)性尋找一些函
2、數(shù)一致連續(xù)的判別法.一、基本概念與定理定義(一致連續(xù)):設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,若,當(dāng)時(shí),有,則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。注:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,若,當(dāng)時(shí),有,則稱函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)。(定理):若函數(shù)在區(qū)間連續(xù),則在區(qū)間上一致連續(xù)。二、有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1:函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)。定理2:函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)且,都存在。證明:必要性,因?yàn)楹瘮?shù)在上一致連續(xù),即:對(duì)對(duì),且,有,顯然函數(shù)在上連續(xù),且對(duì)對(duì),當(dāng)時(shí),當(dāng)然,有。10根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,存在。同理可證,存在。充分性,因?yàn)椋即嬖?,分別設(shè)
3、為和,構(gòu)造函數(shù):顯然在上連續(xù),由定理1可知:在上一致連續(xù),從而在上一致連續(xù)。推論1:函數(shù)在()上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在()上連續(xù),且()存在。推論2:若函數(shù)在有限區(qū)間上連續(xù),單調(diào),有界,則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理3:設(shè)在區(qū)間(是有限區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)連續(xù),則在內(nèi)閉一致連續(xù)。即,在上一致連續(xù)。結(jié)論的正確性有定理直接可得。用此條件能解決很多關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的證明題。其解題思路是把開(kāi)區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到閉區(qū)間上,從而利用定理。定理4:若函數(shù)在及都一致連續(xù),則在上一致連續(xù)。注:改為時(shí),結(jié)論也成立。證明:已知函數(shù)在與一致連續(xù),即:,且,有;,且,有。
4、于是,有:,,,且,當(dāng):1)且,有;102)且,有;3),且,(,)有即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理5:函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數(shù)列,函數(shù)列也收斂。證明:必要性,由于函數(shù)在上一致連續(xù),故對(duì)于當(dāng),且時(shí),有設(shè)是中任一收斂數(shù)列,由柯西條件對(duì)上述的時(shí),,當(dāng)時(shí),有,故。所以,函數(shù)列也收斂。充分性,假設(shè)在上不一致連續(xù),即,對(duì)(?。?,,且,而(1)且有界,故存在收斂子列。由(),故中相應(yīng)的子列也收斂,且與極限相同,因此數(shù)列也收斂于相同極限,于是數(shù)列也收斂。故當(dāng)足夠大時(shí),與(1)矛盾,假設(shè)不成立。即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理6:函數(shù)在上一致連續(xù)的
5、充要條件是任給,時(shí),(1)10證明:“必要性”,設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù),則,,當(dāng)且時(shí),。所以(2)當(dāng),時(shí),(2)式成立,故(1)式成立?!俺浞中浴保O(shè),當(dāng)時(shí),則,,使得當(dāng)時(shí)有。所以函數(shù)在上一致連續(xù)。注:此命題提供了一個(gè)直觀觀察一致連續(xù)的辦法:在圖象上最陡的地方,若,則,一致連續(xù);若在某處無(wú)限變陡,則非一致連續(xù)。三、無(wú)限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1:若函數(shù)在()上連續(xù)且,(,)都存在,則函數(shù)在()上一致連續(xù)。證明:已知存在,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,有,,,有;又已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則函數(shù)在上一致連續(xù),即對(duì)上述的,,(使),且,有于是,且(使)
6、,有即函數(shù)在上一致連續(xù)。推論1:若函數(shù)在()上連續(xù),且10()存在,則函數(shù)在()上一致連續(xù)。推論2:若函數(shù)在上連續(xù)且,都存在,則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理2:定義在上的連續(xù)函數(shù),若當(dāng)時(shí),有水平漸近線,則在上一致連續(xù).證明:由于有水平漸近線知:存在,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則:,,當(dāng)時(shí),有(1)因在上連續(xù),所以在上連續(xù),從而在上一致連續(xù),對(duì)如上的,,當(dāng)且時(shí),有(2)現(xiàn),只要,若.則由(1)知若,則由(2)知若分別屬于與,則,,故綜上所述,在上一致連續(xù)。注:此定理的結(jié)論可推廣到無(wú)窮區(qū)間或上.定理3:定義在上的線性函數(shù)必在內(nèi)一致連續(xù).證明:,,要使,只要
7、,取,當(dāng)時(shí),有故在內(nèi)一致連續(xù)。10定理4:設(shè)在上連續(xù),若當(dāng)時(shí),以直線為斜漸近線,則在上一致連續(xù)。證明:設(shè),則由已知可得:在上連續(xù)。因以直線為斜漸近線,所以即由定理2可知:在上一致連續(xù).又由定理3知:在上一致連續(xù).故在上一致連續(xù).注:此定理的結(jié)論也可推廣到無(wú)窮區(qū)間或上。推論:若函數(shù)在上連續(xù)且曲線:存在不垂直于軸的漸近線,則函數(shù)在上一致連續(xù).定理5:若函數(shù)在區(qū)間(可開(kāi),可半開(kāi),可有限或無(wú)限)可導(dǎo),且在有界,則函數(shù)在上一致連續(xù).證明:設(shè),(),,,當(dāng)時(shí),根據(jù)微分中值定理,存在點(diǎn)介于與之間,使得:即在上一致連續(xù)。定理6:若函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo),且
8、,則:當(dāng)在上一致連續(xù)時(shí),在上一致連續(xù).證明:已知在一致連續(xù),即,,,當(dāng)時(shí),有:10根據(jù)柯西中值定理,存在介于與之間,使得:所以即在上也一致連續(xù)。定理7:設(shè)函數(shù)為區(qū)間上連續(xù)的周期函數(shù),則在上一致連續(xù).證明:設(shè)為的周期,則在