一致連續(xù)函數(shù)的判定 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、一致連續(xù)函數(shù)的判定摘要：函數(shù)在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個不同的概念,后者是一個局部性概念,前者具有整體性質(zhì),它刻畫了函數(shù)f(x)在區(qū)間I上變化的相對均勻性.給出了幾個判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法,本文是通過連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)尋求一致連續(xù)函數(shù)的判定十五種判別方法.關(guān)鍵詞：函數(shù)；連續(xù)；一致連續(xù)；收斂引言:函數(shù)的一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念.連續(xù)是考察函數(shù)在一個點(diǎn)的性質(zhì)而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個區(qū)間的性質(zhì).以一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴(yán)格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。因此我去總結(jié)了通過函數(shù)的連續(xù)性尋找一些函

2、數(shù)一致連續(xù)的判別法.一、基本概念與定理定義（一致連續(xù)）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。注：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)。（定理）：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。二、有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1：函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)。定理2：函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)且，都存在。證明：必要性，因?yàn)楹瘮?shù)在上一致連續(xù)，即：對對，且，有，顯然函數(shù)在上連續(xù)，且對對，當(dāng)時，當(dāng)然，有。10根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，存在。同理可證，存在。充分性，因?yàn)?，都存在，分別設(shè)

3、為和，構(gòu)造函數(shù)：顯然在上連續(xù)，由定理1可知：在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù)。推論1：函數(shù)在（）上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在。推論2：若函數(shù)在有限區(qū)間上連續(xù)，單調(diào)，有界，則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理3：設(shè)在區(qū)間（是有限區(qū)間或無窮區(qū)間）連續(xù)，則在內(nèi)閉一致連續(xù)。即，在上一致連續(xù)。結(jié)論的正確性有定理直接可得。用此條件能解決很多關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的證明題。其解題思路是把開區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到閉區(qū)間上，從而利用定理。定理4：若函數(shù)在及都一致連續(xù)，則在上一致連續(xù)。注：改為時，結(jié)論也成立。證明：已知函數(shù)在與一致連續(xù)，即：，且，有；，且，有。

4、于是，有：，，，且，當(dāng)：1）且，有；102）且，有；3），且，（，）有即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理5：函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數(shù)列，函數(shù)列也收斂。證明：必要性，由于函數(shù)在上一致連續(xù)，故對于當(dāng)，且時，有設(shè)是中任一收斂數(shù)列，由柯西條件對上述的時，，當(dāng)時，有，故。所以，函數(shù)列也收斂。充分性，假設(shè)在上不一致連續(xù)，即，對（?。?，且，而（1）且有界，故存在收斂子列。由（），故中相應(yīng)的子列也收斂，且與極限相同，因此數(shù)列也收斂于相同極限，于是數(shù)列也收斂。故當(dāng)足夠大時，與（1）矛盾，假設(shè)不成立。即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理6：函數(shù)在上一致連續(xù)的

5、充要條件是任給，時，（1）10證明：“必要性”，設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，則，，當(dāng)且時，。所以（2）當(dāng)，時，（2）式成立，故（1）式成立?！俺浞中浴?，設(shè)，當(dāng)時，則，，使得當(dāng)時有。所以函數(shù)在上一致連續(xù)。注：此命題提供了一個直觀觀察一致連續(xù)的辦法：在圖象上最陡的地方，若，則，一致連續(xù)；若在某處無限變陡，則非一致連續(xù)。三、無限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1：若函數(shù)在（）上連續(xù)且，（，）都存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。證明：已知存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，有，，，有；又已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù)，即對上述的，，（使），且，有于是，且（使）

6、，有即函數(shù)在上一致連續(xù)。推論1：若函數(shù)在（）上連續(xù)，且10（）存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。推論2：若函數(shù)在上連續(xù)且，都存在，則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理2：定義在上的連續(xù)函數(shù)，若當(dāng)時，有水平漸近線，則在上一致連續(xù).證明：由于有水平漸近線知：存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則：，，當(dāng)時，有（1）因在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，對如上的，，當(dāng)且時，有（2）現(xiàn),只要,若.則由(1)知若,則由(2)知若分別屬于與,則,,故綜上所述，在上一致連續(xù)。注：此定理的結(jié)論可推廣到無窮區(qū)間或上.定理3：定義在上的線性函數(shù)必在內(nèi)一致連續(xù).證明：，，要使，只要

7、，取，當(dāng)時，有故在內(nèi)一致連續(xù)。10定理4：設(shè)在上連續(xù)，若當(dāng)時，以直線為斜漸近線，則在上一致連續(xù)。證明：設(shè)，則由已知可得：在上連續(xù)。因以直線為斜漸近線，所以即由定理2可知：在上一致連續(xù).又由定理3知：在上一致連續(xù).故在上一致連續(xù).注：此定理的結(jié)論也可推廣到無窮區(qū)間或上。推論：若函數(shù)在上連續(xù)且曲線：存在不垂直于軸的漸近線，則函數(shù)在上一致連續(xù).定理5：若函數(shù)在區(qū)間（可開，可半開，可有限或無限）可導(dǎo)，且在有界，則函數(shù)在上一致連續(xù).證明：設(shè)，（），，，當(dāng)時，根據(jù)微分中值定理，存在點(diǎn)介于與之間，使得：即在上一致連續(xù)。定理6：若函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo)，且

8、，則：當(dāng)在上一致連續(xù)時，在上一致連續(xù).證明：已知在一致連續(xù)，即，，，當(dāng)時，有：10根據(jù)柯西中值定理，存在介于與之間，使得：所以即在上也一致連續(xù)。定理7：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上連續(xù)的周期函數(shù)，則在上一致連續(xù).證明：設(shè)為的周期，則在