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《函數(shù)凹凸性的性質(zhì)判定及應(yīng)用》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、函數(shù)凹凸性的判定性質(zhì)及應(yīng)用曹陽數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘要:函數(shù)的凹凸性在數(shù)學(xué)研究中具有重要的意義。本文從凸函數(shù)的多種定義入手,引出凹凸函數(shù)的性質(zhì),介紹了凹凸函數(shù)的性質(zhì)及判定定理。在此基礎(chǔ)上,將一元函數(shù)的凹凸性進(jìn)行推廣,推廣到二元函數(shù)上,討論了二元函數(shù)凹凸性的性質(zhì),判定方法及其應(yīng)用。一元到二元,即增加了一個(gè)變量,那么對于n元的情況是否有相似的函數(shù)存在呢?本文層層深入,將二元函數(shù)進(jìn)行再次推廣,至n元的情形,給出n元凹凸函數(shù)的定義,判定方法及性質(zhì)。本文主要討論了一元,二元,多元凹凸函數(shù)的定義,性質(zhì),及判定方
2、法,并介紹了它們應(yīng)用。關(guān)鍵詞:凹凸性;一元函數(shù);二元函數(shù);多元函數(shù);判別法;應(yīng)用;Convex?function?of?JudgePropertiesandApplicationsAbstract:Thefunctionofconvexityinmathematicalresearchisofgreatsignificance.Inthispaper,thedefinitionofconvexfunctionofavarietyofstart,leadstounevennatureofthefun
3、ction,describesthepropertiesofconvexfunctionsanddecisiontheorem.Onthisbasis,theconcaveandconvexfunctionsofonevariabletopromote,promotetothebinaryfunction,discussestheunevennatureofthenatureofthebinaryfunction,determinethemethodanditsapplication.Onetoa
4、binary,anincreaseofavariable,thenforn-whetheritisasimilarfunctionexist?Thislayersofdepth,thebinaryfunctiontore-promote,tothecaseofn-givendefinitionofn-convexfunction,determinethemethodsandproperties.Thisarticlefocusesononeelement,binary,multipleconvex
5、functiondefinition,nature,andjudgingmethods,anddescribestheirapplication.Keywords:Convexity;OneFunction;Binaryfunction;Multiplefunctions;Criterion;Applications;1.引言凸函數(shù)是數(shù)學(xué)中一類極其重要的函數(shù),它在最優(yōu)化,運(yùn)籌與控制理論,模具設(shè)計(jì)等方面具有重要的理論和實(shí)踐意義。凸函數(shù)在大學(xué)數(shù)學(xué)中很少具有直接的運(yùn)用,而導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖像的凹凸性研究是大學(xué)
6、數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識點(diǎn),這說明凸性在大學(xué)數(shù)學(xué),特別是數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用沒有得到應(yīng)有的正視,長期以來,凸函數(shù)被熱為只在一些具體學(xué)科,如機(jī)器人學(xué),模具設(shè)計(jì)或一些數(shù)學(xué)分支(如全局優(yōu)化,運(yùn)籌學(xué)等)中具有重要的運(yùn)用,而在大學(xué)數(shù)學(xué)中沒有應(yīng)用。本文將重點(diǎn)探討凸函數(shù)在分析學(xué)中的一些簡單應(yīng)用。在本文中,我們首先給出凸函數(shù)的多種定義,性質(zhì),然后探討二元與多元的情況下凸函數(shù)的定義,判定及性質(zhì)。2.一元函數(shù)凹凸性的判定2.1 凸函數(shù)的多種定義及等價(jià)證明下面先先給出凸函數(shù)的13種常見定義。假設(shè)IR,f:IR.定義2.1.11
7、:f在I內(nèi)連續(xù)f(),則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.21:若則稱f為凸函數(shù)定義2.1.31:的行列式0,則稱f為凸函數(shù)定義2.1.41:,則稱f為凸函數(shù)定義2.1.51:,則稱f(x)為凸函數(shù)定義2.1.61:則稱f(x)為凸函數(shù)定義2.1.71:若f在I內(nèi)存在單增函數(shù),I,xI,有f(x)-f()=,則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.81:設(shè)f在I上連續(xù),且有,則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.91:若,...,I,f()(nN),則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.101:若f在I內(nèi)可導(dǎo),x,yI,有f(x)(y)
8、(x-y)+f(y),則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.111:若f在I可導(dǎo),且(x)單調(diào)遞增,則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.121:f在I內(nèi)二次可導(dǎo),(x)0,則稱f為凸函數(shù)。定義2.1.131:f在區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是:函數(shù)為[0,1]上的凸函數(shù),下面給出幾種定義間的相互證明。定理2.1.11 若f在區(qū)間I上可導(dǎo),則定義7定義10證明:因?yàn)椋嬖冢蓛?nèi)存在單增函數(shù),I,f(x)-f()=(1)故對于yI,不妨設(shè)y<x,有: f(y)-f()= ?。ǎ玻⑹剑ǎ保﹥蛇呹P(guān)于x求