函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用

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1、.§6.5微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo):掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法.教學(xué)要求:弄清函數(shù)凸性的概念,掌握函數(shù)凸性的幾個等價論斷,會求曲線的拐點(diǎn),能應(yīng)用函數(shù)的凸性證明某些有關(guān)的命題.教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點(diǎn):利用凸性證明相關(guān)命題教學(xué)方法:系統(tǒng)講授法＋演示例題教學(xué)過程:引言上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值,這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的.為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀,我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù)凸性的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例,從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)所表示的曲線是向上凸的,而所表示的曲線

2、是向下凸的,這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的.或更準(zhǔn)確地說：從幾何上看,若y＝f(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的,那么連接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的上方；若y＝f(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的,那么連接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的下方.如何把此直觀的想法用數(shù)量關(guān)系表示出來呢？設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是凸的（向下凸）,任意,（）.曲線上任意兩點(diǎn),之間的圖象位于弦的下方,即任意...,的值小于或等于弦在點(diǎn)的函數(shù)值,弦的方程.對任意有,整理得.令,則有,且,易得,上式可寫成.一、凸函數(shù)定義以及與連續(xù)性的關(guān)系(一)凸（凹）函數(shù)的定義定義1設(shè)函數(shù)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上任意兩點(diǎn)、和任意實(shí)數(shù)總

3、有,則稱f為I上的凸函數(shù).反之,如果總有,則稱f為I上的凹函數(shù).注易證：若一f為區(qū)間I上的凸函數(shù),則f為區(qū)間I上的凹函數(shù),因此,今后只討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可.定義2設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)()處有穿過曲線的切線,且在切點(diǎn)近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的,這時稱()為曲線y＝f(x)的拐點(diǎn).必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點(diǎn),y＝f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x＝0的情形.(二)凸函數(shù)的特征引理f為I上的凸函數(shù)對于I上任意三點(diǎn)總有：(3)嚴(yán)格凸函數(shù)上式嚴(yán)格不等式成立....證記,則及,由的凸性知????????(4)?????從而有即???整理即得式.,記,則,由

4、必要性的推導(dǎo)步驟可逆,從式便得式.故為凸函數(shù).同理便知,曲線上首尾相連的線,其斜率是遞增的,即,,有???????????????????????嚴(yán)格凸函數(shù)上式嚴(yán)格不等式成立.定理設(shè)為開區(qū)間上的凸函數(shù)．若則在上滿足利普希茨條件,且在上連續(xù)．證明(證明開區(qū)間上的凸函數(shù)必為連續(xù)函數(shù))　當(dāng)取定后,由為開區(qū)間,必可選取中的四點(diǎn)滿足：．如圖所示,再在中任取兩點(diǎn).　應(yīng)用引理得到...．令????????????????????????????,則,．　　　顯然,上述L與中的點(diǎn)無關(guān),　故在上的每個內(nèi)閉區(qū)間上滿足利普希茨條件．　　由此容易推知在上連續(xù),再由在上的任意性,又可推知在上處處連續(xù)．　如果f

5、是I上的可導(dǎo)函數(shù),則進(jìn)一步有：二、凸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1（可導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的等價命題）設(shè)f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價：（1）f為I上的凸函數(shù)；（2）為I上的增函數(shù)；（3）對I上的任意兩點(diǎn)總有證(i)(ii)　,并取,使據(jù)定理3.12,有由可微,當(dāng)時,對上述不等式取極限后,得到．所以是上的遞增函數(shù)．　　(ii)(iii)　由微分中值定理和遞增,便可證得...當(dāng)時,也有相同結(jié)論．(iii)(i)　,并記,則有,由(iii)可得.注定理中(iii)的幾何意義如下圖所示:曲線上任意一點(diǎn)處的切線恒位于曲線的下方在為可微的前提條件下,常用上述切線與曲線的位置關(guān)系(iii)來表述凸

6、函數(shù)．但是在沒有可微條件假設(shè)時,凸函數(shù)只能用曲線與其任一弦的位置關(guān)系(定義1)來定義．　如果f在I上二階可導(dǎo),則進(jìn)一步有：定理2（凸函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）設(shè)f為I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f為凸（凹）函數(shù)（）,.為嚴(yán)格凸1）；2）不在上的任一子區(qū)間上恒為零.此定理說明：為嚴(yán)格凸,則曲線中不含有直線段（）.對于凹函數(shù)情形,也有類似的定理（因?yàn)橥?則凹）.可導(dǎo)函數(shù)有如下相互等價的論斷：1）為上凹函數(shù).2）,有.即割線斜率遞減....3）為上遞減函數(shù).4）,有,.當(dāng)在上二階可導(dǎo)時,下述論斷與1）,2）,3）,4）相等價.5）在上.對嚴(yán)格凹的情形可類似得出等價論斷.二、拐點(diǎn)定義2設(shè)曲線y＝f

7、(x)在點(diǎn)()處有穿過曲線的切線,且在切點(diǎn)近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的,這時稱()為曲線y＝f(x)的拐點(diǎn).（即為曲線凹凸部分的分界點(diǎn)）必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點(diǎn),y＝f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x＝0的情形.定理3（拐點(diǎn)必要條件）若f在二階可導(dǎo),則()為曲線y＝f(x)的拐點(diǎn)的必要條件是.綜上知：()的拐點(diǎn),則要么（1）；要么（2）f在點(diǎn)不可導(dǎo).定理4設(shè)f在點(diǎn)可導(dǎo),在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),若在和上的符號相反,則()為曲