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《6.5微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、§6.5微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應用教學目標:掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法.教學要求:弄清函數(shù)凸性的概念，掌握函數(shù)凸性的幾個等價論斷，會求曲線的拐點,能應用函數(shù)的凸性證明某些有關的命題.教學重點:利用導數(shù)研究函數(shù)的凸性教學難點:利用凸性證明相關命題教學方法:系統(tǒng)講授法+演示例題教學過程:引言上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值，這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的.為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀,我們在這里再講述一下冇關函數(shù)凸性的概念及其與函數(shù)二階導數(shù)的關系.什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例，從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)y=4^所表示的曲線是向上凸的：hiy=x2
2、所表示的曲線是向下凸的，這與我們Fl常習慣上的稱呼是相類似的?或更準確地說：從幾何上看，若y=f（x）的圖形在區(qū)間I上是凸的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若y=f（x）的圖形在區(qū)間I上是Fl的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.如何把此直觀的想法用數(shù)量關系表示出來呢？設函數(shù)/（x）在區(qū)間/上是凸的（向下凸），任意坷嚴6（坷＜勺）.曲線"念）上任意兩點心,?。?盼J3））之間的圖象位于弦AB的下方,即任意/⑴的值小于或等于弦AB在兀點的函數(shù)值，弦心的方程）」a）7g（u+m）x2一兀]對任意"（州宀）有吃-西，整理得/W5兀兀/（兀I）+XK/（兀2）兀2""尢1
3、尤2—兀1/二（兀2_切尢_召“f令七-西，則有O2/（^）+（1-2）/（x2）M稱f為I上的凹函數(shù).注易證：若一f為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f為區(qū)間I上的FI函數(shù)，因此，今后只討論凸函數(shù)的性質即可.定義2設曲線y=f（x
4、）在點（％/（和）處冇穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸或嚴格凹的，這吋稱（心,/（兀。））為曲線y=f（x）的拐點.必須指出;若（兀oJ（兀°））是曲線y=f（X）的一個拐點,y=f（x）在點?！愕膶?shù)不一定存在，如y=奴在x=0的情形.（-）凸函數(shù)的特征引理f為I上的凸函數(shù)O對于I上任意三點禹V兀2<兀3總有:于（兀2）-于（K）§/（兀3）-/（兀2）⑶/（兀）嚴格凸函數(shù)O上式嚴格不等式成立.花一州，則0<2<1及吃=肚1+（1_刃兀3,由于的凸性知從而有（勺-兀
5、）/（吃）<（心-兀2）/3）+（兀2-兀
6、）/（兀3）(x3-x2)/(x2)+(x2-x1)
7、/(x2)<(x3-x2)/(xl)+(x2-x1)/(x3)整理即得（3）式.VxpX3G/(X,8、：a應用引理得到㈣一畑￡/(疋)一/(*)￡/⑷一2b~axl-X1d~cb-a/⑷-d-c/（兀
9、）+廣（兀
10、）（兀2-兀1）證（i）
11、=（ii）%1、"2匕Axi?兀2,并取力>。，使厲<厲+h<據(jù)定理3.12,冇了（心+必）-/（可）￡/（兀2）-/（可）J/（兀2）-/仗2-必）h兀2_珂A由/可微，當應f0時，對上述不等式取極限后，得到血）"25）*2）P一可■所以/是Z上的遞增函數(shù).（ii）=（ill）可勺川］匸Z,由微分屮值定理和廣遞增，便可證得聞）=/進）仗-巧）2八和仗-起）當"5時,也有相同結論.、X2WZ」U（O，1）,并記勺=5+（
