三階幻方(含答案)-

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1、www.czsx.com.cn三階幻方同學(xué)們：在（三行三列）的正方形方格中，既不重復(fù)又不遺漏地填上1—9這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)自然數(shù)的和均相等，這樣的圖形叫做三階幻方。如果在（四行四列）的正方形方格中進(jìn)行填數(shù)，就要不重復(fù)，不遺漏地在方格內(nèi)填上16個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且使每行、每列、每條對(duì)角線的四個(gè)自然數(shù)之和均相等，這樣的圖形叫四階幻方。一般地，在幾×幾（幾行幾列）的方格里，既不重復(fù)又不遺漏地填上幾×幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)，（注意這幾×幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)不一定非要從1開始），每個(gè)數(shù)占一個(gè)格，且每行、每列、每條對(duì)角線上的幾個(gè)自然數(shù)和均相等，我們把這

2、個(gè)相等的和叫做幻和，幾叫做階，這樣排成的數(shù)的圖形叫做幾階幻方。（一）思路指導(dǎo)與解答例1.用1～9這九個(gè)數(shù)編排一個(gè)三階幻方。分析：我們先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分別填入九個(gè)空格內(nèi)以代表應(yīng)填的數(shù)。看圖（2）：（1）通過審題，我們知道幻和是多少才好進(jìn)行填數(shù)。同時(shí)可以看到圖（2）中，e是一個(gè)中間數(shù)，也是關(guān)鍵數(shù)。因?yàn)樗謩e要與第二行、第二列以及兩條對(duì)角線上的另外兩個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算，結(jié)果都等于幻和；其次是三階幻方中四個(gè)角上的數(shù)：a、c、g、i它們各自都要參加一行，一列及一條對(duì)角線的求和運(yùn)算。如果e以及四個(gè)角上的數(shù)被確定之后，其它的數(shù)字便可以根據(jù)幻和是多少填

3、寫出來(lái)了。（2）求幻和：幻和（3）選擇突破口，顯然是e，看圖2。-7-www.czsx.com.cn因?yàn)椋核裕阂簿褪牵河忠驗(yàn)椋核砸簿褪钦f(shuō)，圖1中的中心方格中應(yīng)填5，請(qǐng)注意，這個(gè)數(shù)正好是1～9這九個(gè)數(shù)中正中間的數(shù)。（4）四個(gè)角上的數(shù)，a、c、g、i的特點(diǎn)。我們先從a開始：想：a是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果a為奇數(shù)，因?yàn)椋砸彩瞧鏀?shù)。因?yàn)槠妫妫脚肌Ｓ忠驗(yàn)?，所以d與g同是奇數(shù)或同是偶數(shù)。分兩種情況：<1>當(dāng)d、g都是奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，，其中e，i都是奇數(shù)，所以f、h也只能是奇數(shù)。這樣在圖1中應(yīng)填的數(shù)有a、d、e、f、g、h、i這七個(gè)奇數(shù)，而1～9中九個(gè)數(shù)只有五個(gè)奇數(shù)

4、，所以矛盾，說(shuō)明d、g不可能為奇數(shù)。<2>當(dāng)d、g為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椋?，因?yàn)閕為奇數(shù)，所以f、h、c只能是偶數(shù)，這樣就有c、d、f、g、h五個(gè)偶數(shù)，而1～9這九個(gè)數(shù)中只有四個(gè)偶數(shù)，矛盾。說(shuō)明d、g都是偶數(shù)也不行。所以a不能是奇數(shù)，那么只能是偶數(shù)，于是由知i也是偶數(shù)。用同樣的方法可以得到c、g也只能是偶數(shù)。也就是說(shuō)圖1中四個(gè)角上的數(shù)都應(yīng)填偶數(shù)。（5）試驗(yàn)填數(shù)排出幻方。因?yàn)槭桥紨?shù)，所以a的范圍有2、4、6、8四個(gè)數(shù)，根據(jù)幻和等于15進(jìn)行試驗(yàn)。-7-www.czsx.com.cn當(dāng)時(shí)，或6，若，則有，若，則有，這樣可填出兩個(gè)幻方。當(dāng)時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們自己練習(xí)填寫。用1～9

5、這九個(gè)數(shù)編排的三階幻方有八個(gè)：說(shuō)明：在上面圖形中給出的用1～9這九個(gè)數(shù)字編排的八個(gè)三階幻方中的任何一個(gè)，都可以對(duì)它上面的數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?duì)調(diào)與旋轉(zhuǎn)。從而得到其它七個(gè)圖形。例2.請(qǐng)編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24。分析：根據(jù)題意，要使三階幻方的幻和為24，所以中心數(shù)必為，那么與8在一條直線上的各個(gè)組的其余兩個(gè)數(shù)的和為16。因?yàn)椋?7-www.czsx.com.cn按上述條件填出并調(diào)整可得到一個(gè)三階幻方，其幻和為24。例3.在下面圖中的A、B、C、D處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使其成為一個(gè)三階幻方。分析：從第一行和對(duì)角線可得：這樣幻和從第一行中可求出：從第二行中可求出：從第

6、三行中可求出：例4.在下面各圖形的○里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于21。-7-www.czsx.com.cn分析：這道題只要我們求出一個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)，其它數(shù)就容易求出來(lái)了。我們先想右下角的數(shù)。（1）想：“13”左右兩個(gè)數(shù)的填法，“11”上下兩個(gè)數(shù)的填法。當(dāng)8右邊的數(shù)和10下面的數(shù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)時(shí)，就是右下角要填的數(shù)，即右下角要填6。（2）填寫左下角○內(nèi)的數(shù)：，左下角為7。（3）填寫下面○內(nèi)的數(shù)：，上面數(shù)應(yīng)填5。（4）左邊線上三個(gè)數(shù)相加：，說(shuō)明符合條件。［答題時(shí)間：25分鐘］（二）認(rèn)真思考，獨(dú)立完成1.用1～9這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖1中的幻方，并求幻和。-7

7、-www.czsx.com.cn2.用3～11這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖2中的幻方，并求幻和。3.在圖3的空格中填入不大于15且互不相同的自然數(shù)使每一橫行、豎行和對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于30。請(qǐng)做完之后再看答案！-7-www.czsx.com.cn【試題答案】（二）認(rèn)真思考，獨(dú)立完成1.用1～9這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖1中的幻方，并求幻和。2.用3～11這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖2中的幻方，并求幻和。3.在圖3的空格中填入不大于15且互不相同的自然數(shù)使每一橫行、豎行和對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于30。-7-