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《數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題解答》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題解答習(xí)題1１．求下三角陣的逆矩陣的詳細(xì)算法。[解]設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為T(mén)我們可以使用待定法，求出矩陣T的各列向量。為此我們將T按列分塊如下：注意到我們只需運(yùn)用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考慮到內(nèi)存空間的節(jié)省，我們可以置結(jié)果矩陣T的初始狀態(tài)為單位矩陣。這樣，我們便得到如下具體的算法：算法（求解下三角矩陣L的逆矩陣T，前代法）87２．設(shè)為兩個(gè)上三角矩陣，而且線(xiàn)性方程組是非奇異的，試給出一種運(yùn)算量為的算法，求解該方程組。[解]因，故為求解線(xiàn)性方程組，可先求得上三角矩陣T的逆矩陣，依照上題的思想
2、我們很容易得到計(jì)算的算法。于是對(duì)該問(wèn)題我們有如下解題的步驟：（1）計(jì)算上三角矩陣T的逆矩陣，算法如下：算法1（求解上三角矩陣的逆矩陣，回代法。該算法的的運(yùn)算量為）（2）計(jì)算上三角矩陣。運(yùn)算量大約為.（3）用回代法求解方程組：.運(yùn)算量為；（4）用回代法求解方程組：運(yùn)算量為。算法總運(yùn)算量大約為：３．證明：如果是一個(gè)Gauss變換，則也是一個(gè)Gauss變換。87[解]按Gauss變換矩陣的定義，易知矩陣是Gauss變換。下面我們只需證明它是Gauss變換的逆矩陣。事實(shí)上注意到，則顯然有從而有４．確定一個(gè)Gauss變換L，使[解]
3、比較比較向量和可以發(fā)現(xiàn)Gauss變換L應(yīng)具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss變換如下５．證明：如果有三角分解，并且是非奇異的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。[證明]設(shè)，其中都是單位下三角陣，都是上三角陣。因?yàn)锳非奇異的，于是87注意到，單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣，兩個(gè)單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣；上三角陣的逆仍是上三角陣，兩個(gè)上三角陣的乘積仍是上三角陣。因此，上述等將是一個(gè)單位下三角陣與一個(gè)上三角陣相等，故此，它們都必是單位矩陣。即，從而即A的LU分
4、解是唯一的。６．設(shè)的定義如下證明A有滿(mǎn)足的三角分解。[證明]令是單位下三角陣，是上三角陣。定義如下 容易驗(yàn)證：７．設(shè)A對(duì)稱(chēng)且，并假定經(jīng)過(guò)一步Gauss消去之后，A具有如下形式證明仍是對(duì)稱(chēng)陣。[證明]根據(jù)Gauss變換的屬性，顯然做矩陣A的LU分解的第一步中的Gauss變換為87其中，將A分塊為那么即由A的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)性則是顯而易見(jiàn)的。８．設(shè)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，即A滿(mǎn)足又設(shè)經(jīng)過(guò)一步Gauss消去后，A具有如下形式試證：矩陣仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。由此推斷：對(duì)于對(duì)稱(chēng)的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣來(lái)說(shuō)，用Gauss消去法和列主元Gauss消
5、去法可得得同樣的結(jié)果。[證明]依上題的分析過(guò)程易知，題中的于是主對(duì)角線(xiàn)上的元素滿(mǎn)足87（1）非主對(duì)角線(xiàn)上的元素滿(mǎn)足由于A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，即故從而（2）綜合（1）和（2）得即，矩陣仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。９．設(shè)有三角分解。指出當(dāng)把Gauss消去法應(yīng)用于矩陣時(shí)，怎樣才能不必存儲(chǔ)L而解出Ax=b？需要多少次乘法運(yùn)算？[解]用Gauss消去法作A的LU分解，實(shí)際上就是對(duì)系數(shù)矩陣A作了一組初等行變換，將其化為上三角矩陣U。而這一組的初等行變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣就是，即87如果把這一組初等行變換施加于方程右端向量b上，即有這就是說(shuō)，方程組和
6、是同解方程。而后者是上三角形方程組，可運(yùn)用本章算法1·1·2求解。這樣我們就不必存儲(chǔ)L，通求解方程組，來(lái)求解原方程組。算法如下：（1）用初等變換化；（2）利用回代法求解方程組。該算法所需要的加、減、乘、除運(yùn)算次數(shù)為10．A是正定陣，如果對(duì)A執(zhí)行Gauss消去一步產(chǎn)生一個(gè)形式為的矩陣，證明仍是正定陣。[證明]不妨設(shè)從而有87由于非奇異，故對(duì)且，構(gòu)造，及，則由A的正定性有由x的任意性知，正定。11．設(shè)并且是非奇異的。矩陣稱(chēng)為是在A中的Schur余陣。證明：如果有三角分解，那么經(jīng)過(guò)步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的
7、矩陣[證明]因?yàn)橛腥欠纸?，所以矩陣A可保證前步Gauss消去法可以順利完成。即有如下單位下三角矩陣使注意到87比較兩式便知，，故有12．證明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，則對(duì)任意有[證明]略。13．利用列主元Gauss消去法給出一種求逆矩陣的實(shí)用算法。[解]設(shè)A是非奇異的，則應(yīng)用列主元Gauss消去法可得到這里：P是置換陣，L是單位下三角陣，U是上三角陣。于是，通過(guò)求解下列n個(gè)方程組便可求得于是也就是說(shuō)，求A的逆矩陣，可按下列方案進(jìn)行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）經(jīng)求解：得；（3）對(duì)X進(jìn)
8、行列置換得：。14．假定已知的三角分解：A=LU。試設(shè)計(jì)一個(gè)算法來(lái)計(jì)算的（i，j）元素。[解]求解方程組87則x的第i個(gè)分量就是的（i,j）元素。15．證明：如果是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣（參見(jiàn)第8題），那么A有三角分解A=LU并且[證明]仿照第8題的證明，容易證明：對(duì)于是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，經(jīng)過(guò)一步Gauss消去后
