階躍響應沖擊響應與卷積積分法

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1、補充第一章階躍響應沖擊響應與卷積積分法電路中除電阻元件外，還包含有電容和電感等動態(tài)元件，這樣的電路稱為動態(tài)電路。在動態(tài)電路分析中，激勵和響應都表示為時間的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的方法，稱為時域分析法。本章主要討論一階電路的階躍響應、沖激響應、任意輸入的零狀態(tài)響應，以及二階電路在恒定輸入下的零狀態(tài)響應?！?-1階躍響應和沖激響應電路的輸入除恒定不變的常量（即恒定輸入或直流輸入）和按正弦規(guī)律變動的交流量（即正弦輸入）之外，常見的還有另外兩種奇異函數(shù)，即階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本節(jié)就來討論這兩種函數(shù)的定義、性質及作用于線性動態(tài)電路時所引起

2、的響應。單位階躍函數(shù)（unitstepfunction）用來表示，它定義為波形如圖1-1（a）所示，在處，由0躍變至1。如果單位階躍函數(shù)的躍變點不是在處，而是在處，波形如圖1-1（b）所示，則稱它為延遲的單位階躍函數(shù)，用表示，即圖1-1單位階躍函數(shù)與任一常量的乘積仍是一個階躍函數(shù)，此時階躍的幅度為。單位階躍函數(shù)與任一函數(shù)的乘積將只保留該函數(shù)在階躍點以后的值，而使階躍點以前的值變?yōu)榱悖从幸虼?，單位階躍函數(shù)可以用來“起始”一個任意函數(shù)，這給函數(shù)的表示帶來了方便。例如對于線性函數(shù)為常數(shù)），由圖1-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出、及的不同。

3、圖1-2應該指出，函數(shù)與是不同的。前者相當于把向后延遲了時間[波形如圖1-2(d)所示]，而后者只是在以后才有值。要注意它們的差別。在電路分析中，可以利用單位階躍函數(shù)來表示某些輸入波形。例如對圖1-3(a)中的波形，可以看做是圖(b)中兩個單位階躍函數(shù)的波形合成的結果，從而有圖1-3同理，可將圖1-4(a)和(b)中的波形分別表示成圖1-4單位階躍函數(shù)還可以用來“模擬”電路中的開關動作。例如圖1-5(a)中電路的輸入為，其含義與圖1-5(b)中的開關動作是一樣的，即時RC電路被短接，輸入為零；時RC電路被接到電壓源上。與此類似，圖1-6(a)

4、中電路的輸入為，其含義與圖1-6(b)中的換路也是一樣的，即在時RL電路與電流源沒有接通，輸入為零；而在時，RL電路才被接到電流源上。圖1-5圖1-6當電路的輸入為（單位）階躍函數(shù)時，相應的響應稱為（單位）階躍響應。應該指出的是，如果電路僅有階躍輸入，則因為換路前輸入為零，故其初狀態(tài)必為零。因此電路的（單位）階躍響應是在（單位）階躍輸入作用下的零狀態(tài)響應。例1-1求單位階躍電流源作用于RC并聯(lián)電路時的響應（電路如圖1-7所示）。圖1-7解時由于輸入為零，故時換路，換路后1A電流源作用于電路，可用三要素法分析如下故考慮到時，故所求響應亦可寫作而

5、不必再另行標注時間域了。如將上例中的輸入改為延遲的單位階躍函數(shù)，則響應也應延遲，變?yōu)槿舭焉侠械妮斎敫臑?，則根據零狀態(tài)響應的線性性質，其響應將變?yōu)榫C上所述，如果把某電路對單位階躍輸入的響應記做，則該電路對延遲時刻的單位階躍輸入的響應為，而對輸入為的響應為。例1-2求單位階躍電壓源作用于RC串聯(lián)電路時的響應（電路如圖1-8所示）。圖1-8解時，輸入為零，后，1V電壓源作用于電路，所求響應的三要素分別為故例1-3圖1-9(a)所示電路中輸入的波形如圖1-9(b)所示。求。圖1-9解由例1-2知，所求電容電壓的單位階躍響應為今輸入可用單位階躍函數(shù)表

6、示為根據線性電路的疊加性質和零狀態(tài)響應的線性性質，可由直接寫出此時所求的響應為該例也可看做二次換路問題，如圖1-9(c)所示，可用三要素法分時間段求得結果如下兩種解法所得結果表面看起來似不一致，但實際上是一樣的：在時，前一種結果中的第二項為零，故兩結果相同；在時，前一種結果中的兩項均不為零，經變換與后一種結果仍然是相同的，即下面介紹單位沖激函數(shù)（unitimpulsefunction）。在引出單位沖激函數(shù)之前，先介紹一個矩形脈沖函數(shù)（pulsefunction），其定義如下由定義可得的波形如圖1-10所示，它表示一個寬度為，高度為的矩形脈沖。

7、由于這一脈沖所圍的面積——稱做脈沖的強度——為1，故又稱為單位脈沖函數(shù)（unitpulsefunction）。單位脈沖函數(shù)的特點是，脈沖寬度越小，脈沖高度越大，但脈沖所圍面積即脈沖強度始終為1，保持不變，如圖1-10中所示。當時，將會得到一個寬度為零、高度無限而面積為1的特殊脈沖，我們稱此特殊脈沖為單位沖激，記做，即圖1-10根據以上的介紹，我們可以給單位沖激函數(shù)正式定義如下因為在時，而當時，，所以單位沖激函數(shù)不是普通意義下的函數(shù)，而是一種奇異函數(shù)（singularfunction），其圖形表示如圖1-11(a)所示。箭頭旁注明1表示其強度為

8、1。如果單位沖激函數(shù)不是在時出現(xiàn)，而是在時出現(xiàn)，則稱之為延遲的單位沖激函數(shù)，記做，其圖形表示如圖1-11(b)。如果沖激函數(shù)的強度不是1而是K，則用或表示，其圖形表