階躍響應(yīng)沖擊響應(yīng)與卷積積分法

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1、補充第一章階躍響應(yīng)沖擊響應(yīng)與卷積積分法電路中除電阻元件外，還包含有電容和電感等動態(tài)元件，這樣的電路稱為動態(tài)電路。在動態(tài)電路分析中，激勵和響應(yīng)都表示為時間的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的方法，稱為時域分析法。本章主要討論一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)、任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)，以及二階電路在恒定輸入下的零狀態(tài)響應(yīng)。§1-1階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)電路的輸入除恒定不變的常量（即恒定輸入或直流輸入）和按正弦規(guī)律變動的交流量（即正弦輸入）之外，常見的還有另外兩種奇異函數(shù)，即階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本節(jié)就來討論這兩種函數(shù)的定義、性質(zhì)及作用于線性動態(tài)電路時所引起的響應(yīng)。單位階躍函數(shù)（unitstepfuncti

2、on）用來表示，它定義為波形如圖1-1（a）所示，在處，由0躍變至1。如果單位階躍函數(shù)的躍變點不是在處，而是在處，波形如圖1-1（b）所示，則稱它為延遲的單位階躍函數(shù)，用表示，即圖1-1單位階躍函數(shù)與任一常量的乘積仍是一個階躍函數(shù)，此時階躍的幅度為。單位階躍函數(shù)與任一函數(shù)的乘積將只保留該函數(shù)在階躍點以后的值，而使階躍點以前的值變?yōu)榱?，即有因此，單位階躍函數(shù)可以用來“起始”一個任意函數(shù)，這給函數(shù)的表示帶來了方便。例如對于線性函數(shù)為常數(shù)），由圖1-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出、及的不同。圖1-2應(yīng)該指出，函數(shù)與是不同的。前者相當于把向后延遲了時間[波形如圖1-2(d)所示]，而后者只是

3、在以后才有值。要注意它們的差別。在電路分析中，可以利用單位階躍函數(shù)來表示某些輸入波形。例如對圖1-3(a)中的波形，可以看做是圖(b)中兩個單位階躍函數(shù)的波形合成的結(jié)果，從而有圖1-3同理，可將圖1-4(a)和(b)中的波形分別表示成圖1-4單位階躍函數(shù)還可以用來“模擬”電路中的開關(guān)動作。例如圖1-5(a)中電路的輸入為，其含義與圖1-5(b)中的開關(guān)動作是一樣的，即時RC電路被短接，輸入為零；時RC電路被接到電壓源上。與此類似，圖1-6(a)中電路的輸入為，其含義與圖1-6(b)中的換路也是一樣的，即在時RL電路與電流源沒有接通，輸入為零；而在時，RL電路才被接到電流源上。圖1-5圖1-6

4、當電路的輸入為（單位）階躍函數(shù)時，相應(yīng)的響應(yīng)稱為（單位）階躍響應(yīng)。應(yīng)該指出的是，如果電路僅有階躍輸入，則因為換路前輸入為零，故其初狀態(tài)必為零。因此電路的（單位）階躍響應(yīng)是在（單位）階躍輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。例1-1求單位階躍電流源作用于RC并聯(lián)電路時的響應(yīng)（電路如圖1-7所示）。圖1-7解時由于輸入為零，故時換路，換路后1A電流源作用于電路，可用三要素法分析如下故考慮到時，故所求響應(yīng)亦可寫作而不必再另行標注時間域了。如將上例中的輸入改為延遲的單位階躍函數(shù)，則響應(yīng)也應(yīng)延遲，變?yōu)槿舭焉侠械妮斎敫臑?，則根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)，其響應(yīng)將變?yōu)榫C上所述，如果把某電路對單位階躍輸入的響應(yīng)記做，則該電

5、路對延遲時刻的單位階躍輸入的響應(yīng)為，而對輸入為的響應(yīng)為。例1-2求單位階躍電壓源作用于RC串聯(lián)電路時的響應(yīng)（電路如圖1-8所示）。圖1-8解時，輸入為零，后，1V電壓源作用于電路，所求響應(yīng)的三要素分別為故例1-3圖1-9(a)所示電路中輸入的波形如圖1-9(b)所示。求。圖1-9解由例1-2知，所求電容電壓的單位階躍響應(yīng)為今輸入可用單位階躍函數(shù)表示為根據(jù)線性電路的疊加性質(zhì)和零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)，可由直接寫出此時所求的響應(yīng)為該例也可看做二次換路問題，如圖1-9(c)所示，可用三要素法分時間段求得結(jié)果如下兩種解法所得結(jié)果表面看起來似不一致，但實際上是一樣的：在時，前一種結(jié)果中的第二項為零，故兩結(jié)

6、果相同；在時，前一種結(jié)果中的兩項均不為零，經(jīng)變換與后一種結(jié)果仍然是相同的，即下面介紹單位沖激函數(shù)（unitimpulsefunction）。在引出單位沖激函數(shù)之前，先介紹一個矩形脈沖函數(shù)（pulsefunction），其定義如下由定義可得的波形如圖1-10所示，它表示一個寬度為，高度為的矩形脈沖。由于這一脈沖所圍的面積——稱做脈沖的強度——為1，故又稱為單位脈沖函數(shù)（unitpulsefunction）。單位脈沖函數(shù)的特點是，脈沖寬度越小，脈沖高度越大，但脈沖所圍面積即脈沖強度始終為1，保持不變，如圖1-10中所示。當時，將會得到一個寬度為零、高度無限而面積為1的特殊脈沖，我們稱此特殊脈沖為

7、單位沖激，記做，即圖1-10根據(jù)以上的介紹，我們可以給單位沖激函數(shù)正式定義如下因為在時，而當時，，所以單位沖激函數(shù)不是普通意義下的函數(shù)，而是一種奇異函數(shù)（singularfunction），其圖形表示如圖1-11(a)所示。箭頭旁注明1表示其強度為1。如果單位沖激函數(shù)不是在時出現(xiàn)，而是在時出現(xiàn)，則稱之為延遲的單位沖激函數(shù)，記做，其圖形表示如圖1-11(b)。如果沖激函數(shù)的強度不是1而是K，則用或表示，其圖形表