離散時(shí)間信號(hào)處理奧本海姆第二版課后答案第八章

離散時(shí)間信號(hào)處理奧本海姆第二版課后答案第八章

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1、第八章離散傅立葉變換8.1假設(shè)是一個(gè)周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào),其周期為1ms,它的傅立葉級(jí)數(shù)為.對(duì)于,傅立葉系數(shù)為零,以采樣間隔對(duì)采樣得到:.(a)是周期的嗎?如果是,周期為多少?(b)采樣率是否高于奈奎斯特采樣率,也就是說(shuō)T是否充分小而且可以避免混疊?(c)利用求出的離散傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)。解:(a)而是周期的,周期為6。(b)而采樣頻率為所以T足夠小,而可以避免混疊。(c)8.2設(shè)是一個(gè)周期為N的周期序列,還是一個(gè)周期為3N的周期序列。令表示作為周期為N的周期序列的的DFS系數(shù),表示作為周期為3N的周期序列的的DFS系數(shù)。(a)用表示出。(

2、b)用公式計(jì)算和,當(dāng)為圖P8.2中給定的序列時(shí),證明你在(a)中得出的結(jié)果。解:(a)由DFS的分析式可得:而令則==(b)===當(dāng)時(shí),8.3在推導(dǎo)DFS的分析式(8.11)中我們用到了等式(8.7)。為了證明這個(gè)等式,我們分別考慮和這兩種條件。(a)當(dāng)時(shí),證明,并由此證明:,因?yàn)樵诘仁剑?.7)中和都是整數(shù),所以用來(lái)替換并且考慮到求和式因?yàn)檫@是幾何級(jí)數(shù)中有限項(xiàng)的求和,寫成閉合形式(P8.3)(b)取何值時(shí),式(P8.3)右邊為不定式,即分子和分母都為零。(c)由(b)的結(jié)果證明:當(dāng)時(shí),(a)證明:(b)有限項(xiàng)求和可以寫成閉式:當(dāng),即

3、,m為整數(shù)時(shí),上式右邊為不定式。(c)證明:當(dāng)時(shí),令,(0

4、性質(zhì)3:性質(zhì)4:(b)對(duì)實(shí)周期序列,有8.6(a)圖P8.6-1表示兩個(gè)周期N=7的周期序列和。求序列的,使其DFS等于的DFS和的DFS的乘積,即(b)圖P8.6-2表示一個(gè)周期序列,其周期N=7。求序列的,使其DFS等于的DFS和的DFS的乘積,即解:(a)由DFS的周期卷積性質(zhì)可知:(b)同理可得:8.7圖P8.7畫出幾個(gè)不同周期序列,這些序列可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示為:(a)哪一個(gè)序列可以通過(guò)選擇時(shí)間起始點(diǎn)使所有的都為實(shí)數(shù)?(b)哪一個(gè)序列可以通過(guò)選擇時(shí)間起始點(diǎn)使所有的都為虛數(shù)(k為N的整數(shù)倍除外)?(c)哪一個(gè)序列有,圖P8.7

5、解:(a)要使所有的為實(shí)數(shù),既要求,由DFS的性質(zhì)可以知道,則必須。又因?yàn)槭菍?shí)序列,所以要求,故圖P8.7中的第二個(gè)序列通過(guò)選擇時(shí)間原點(diǎn)使所有的為實(shí)數(shù)。(a)要使所有的為虛數(shù),既要求,由DFS的性質(zhì)可以知道,則必須。又因?yàn)槭菍?shí)序列,所以要求,故圖中沒(méi)有一個(gè)序列能夠滿足使所有的為虛數(shù)的條件。(b)對(duì)應(yīng)圖P8.7中的第一個(gè)序列,可以寫出:當(dāng)。對(duì)于第三個(gè)序列,它是第一個(gè)序列減去平移4位后的序列,那么:當(dāng)。8.8解:(1),即:其中:。(2),其中:。(3)的傅立葉變換。即:。即得到結(jié)果。8.9考慮由式給出的序列。周期序列由用下列方式構(gòu)成:。

6、(a)求的傅立葉變換(b)求的離散傅立葉變換。(c)和有何聯(lián)系?解:(a)(b)則有(c)由(a),(b)可知。8.10考慮一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列即,在之外表示的傅立葉變換。表示由的64個(gè)等間隔樣本構(gòu)成的序列,即已知在范圍內(nèi),,而其余值均為零。(a)如果序列長(zhǎng)度N=64,按照給定的信息求出序列。說(shuō)明答案是否是唯一的。如果是,請(qǐng)解釋清楚原因。如果不是,請(qǐng)給出第二種不同的選擇。(b)如果序列長(zhǎng)度N=192=3х64,求序列,使其在的范圍內(nèi),而其余值為零。說(shuō)明答案是否是唯一的。如果是,請(qǐng)解釋清楚原因。如果不是,請(qǐng)給出第二種不同的選擇。解:

7、(a)因?yàn)榈牟蓸訑?shù),所以不會(huì)產(chǎn)生時(shí)間混疊.因?yàn)闆](méi)有發(fā)生時(shí)間混疊,所以答案是唯一的.(b)因?yàn)樾蛄虚L(zhǎng)度192大于對(duì)的采樣頻率64,所以會(huì)發(fā)生時(shí)間混疊.同上有所以答案不唯一.下面試舉其中兩種可能的結(jié)果:還可以有其他的情況.8.11計(jì)算下面每一個(gè)長(zhǎng)度為N(N為偶數(shù))的有限長(zhǎng)序列的DFT:(a)(b),(c)(d)(e)解:(a)當(dāng)時(shí),(b)當(dāng)時(shí),(c)當(dāng)時(shí),(a)當(dāng)時(shí),(b)當(dāng)時(shí),8.12解:(a)設(shè),,即有:;;其中,。即:。(b);即:。(c)對(duì)于(為整數(shù)),則:。8.13用的采樣率對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行采樣,并計(jì)算出1024個(gè)樣本點(diǎn)的

8、DFT,求兩個(gè)譜樣本點(diǎn)之間的頻率間隔,并證明你的答案是正確的。解:采樣率為10kHz,即繞單位圓一周為10kHz1024個(gè)點(diǎn)的離散傅立葉變換相當(dāng)于將單位圓等分為1024個(gè)點(diǎn)兩個(gè)譜樣本點(diǎn)之間的頻率間隔為。8.14一個(gè)有限長(zhǎng)

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