高數(shù)下論文-無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性

《高數(shù)下論文-無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。

1、高等數(shù)學(xué)論文論文題目：級(jí)數(shù)斂散性判別方法的歸納姓名：馮菲菲院系：電氣信息學(xué)院專業(yè)：電子信息工程指導(dǎo)老師：費(fèi)騰時(shí)間：2013年5月摘要：無(wú)窮級(jí)數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要組成部分，它是研究函數(shù)、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無(wú)窮級(jí)數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級(jí)數(shù)收斂的判別在級(jí)數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級(jí)數(shù)斂散性的方法太多，學(xué)者們一時(shí)很難把握，本文對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對(duì)學(xué)者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)；收斂；判別；發(fā)散引言：在講解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法時(shí)，每講一種判別方法，學(xué)生按照指定的判別方法進(jìn)行解題，一般都能

2、很容易求得結(jié)果，而當(dāng)把多種判別方法講完，再讓學(xué)生作綜合判別時(shí)，學(xué)生要么束手無(wú)策，要么選擇判別方法時(shí)帶有盲目性，拿作判別方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性解題，只要求得結(jié)果，不問(wèn)方法的簡(jiǎn)單與繁瑣，而不是先從簡(jiǎn)單方法入手，往往用一種簡(jiǎn)單的方法就可以輕松解題，卻用較繁瑣方法費(fèi)了九牛二虎之力，結(jié)果還不一定正確，造成這種情況的主要原因主要是學(xué)生對(duì)所學(xué)的判別方法的使用條件及特點(diǎn)不太熟悉，解題思路比較亂.所以在講解完常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法之后，非常有必要?dú)w納總結(jié)一下.一.級(jí)數(shù)收斂的概念和基本性質(zhì)給定一個(gè)數(shù)列｛｝，形如①稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)(常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)),用表示。無(wú)窮級(jí)數(shù)①的前n項(xiàng)之和，記為=②

3、稱它為無(wú)窮級(jí)數(shù)的第n個(gè)部分和，也簡(jiǎn)稱部分和。若無(wú)窮級(jí)數(shù)②的部分和數(shù)列｛｝收斂于s.則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，若級(jí)數(shù)的部分和發(fā)散則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。研究無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，首先給出大家熟悉的收斂級(jí)數(shù)的一些基本定理：定理1若級(jí)數(shù)和都收斂，則對(duì)任意的常數(shù)c和d，級(jí)數(shù)亦收斂，且=c+d定理2去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性定理3在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4級(jí)數(shù)①收斂的充要條件是：任給＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)m＞N和任意的自然數(shù)，都有＜以上是收斂級(jí)數(shù)的判別所需的一些最基本定理，但是，在處理實(shí)際問(wèn)題中，僅靠這些是遠(yuǎn)

4、遠(yuǎn)不夠的，所以在級(jí)數(shù)的理論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級(jí)數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別。二.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列{}有界，即存在某正整數(shù)M，對(duì)一切正整數(shù)n有＜M。從基本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列基本的判別法1比較判別法設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù)N，對(duì)一切n＞N都有，則（i）級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。例1.設(shè)收斂，證明：收斂（>0）.證明：因?yàn)?<<易知：收斂（積分判別法），又收斂，所以收斂。由比較判別法知

5、收斂（>0）.例2.證明：級(jí)數(shù)都是條件收斂的。證：不妨設(shè)x>0,則>0，當(dāng)n>時(shí)，0<<,此時(shí),且{}為單調(diào)遞減數(shù)列，且=0。由萊布尼茨判別法知收斂。而當(dāng)n>時(shí)，=>0，=1又發(fā)散，由比較判別法知也發(fā)散。所以，級(jí)數(shù)都是條件收斂的。例3.證明級(jí)數(shù)收斂證：0<=<=.===0由比值判別法知收斂，再由比較判別法知收斂，即有：級(jí)數(shù)收斂。根據(jù)比較原則，我們得到了兩個(gè)更為實(shí)用的判別法，即柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法。2柯西判別法（根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)，（i）若對(duì)一切n＞，成立不等式＜1，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n＞，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散

6、。例1.判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?所以由根式判別法知級(jí)數(shù)收斂。3達(dá)朗貝爾判別法（比值判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0＜q＜1）.（i）若對(duì)一切n＞，成立不等式q，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n＞，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散。例1.判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?=>1所以由比式判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散。4積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。設(shè)f為[1，+)上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。例1.判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：設(shè)f(x)=,則f(x)在[3，+上非負(fù)遞減。若，這時(shí)

7、有==當(dāng)小q＞1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)小q1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；若,這時(shí)有=對(duì)任意的q，當(dāng)時(shí)，取t>1,有=0即該積分收斂。當(dāng)時(shí)，有=即該積分發(fā)散。5拉貝判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)r，（i）若對(duì)一切n＞，成立不等式＞1，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n＞，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散。例1.判別級(jí)數(shù)（x>0）的斂散性。解：因?yàn)?[1-]=所以由拉貝判別法知，當(dāng)小x＞1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)小x1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；6對(duì)數(shù)判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在，則當(dāng)q>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)q<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例1判別級(jí)數(shù)=的斂散性。證明：==ln5>1因此有對(duì)數(shù)判別法可知級(jí)數(shù)=收斂。7雙比值判別

8、法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在==，則當(dāng)<時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)>時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例1判別級(jí)數(shù)