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1、高等數(shù)學(xué)論文論文題目：級數(shù)斂散性判別方法的歸納姓名：馮菲菲院系：電氣信息學(xué)院專業(yè)：電子信息工程指導(dǎo)老師：費(fèi)騰時間：2013年5月摘要：無窮級數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》中的一個重要組成部分，它是研究函數(shù)、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無窮級數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級數(shù)收斂的判別在級數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級數(shù)斂散性的方法太多，學(xué)者們一時很難把握，本文對級數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對學(xué)者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級數(shù)；收斂；判別；發(fā)散引言：在講解數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法時，每講一種判別方法，學(xué)生按照指定的判別方法進(jìn)行解題，一般都能很容易求
2、得結(jié)果，而當(dāng)把多種判別方法講完，再讓學(xué)生作綜合判別時，學(xué)生要么束手無策，要么選擇判別方法時帶有盲目性，拿作判別方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性解題，只要求得結(jié)果，不問方法的簡單與繁瑣，而不是先從簡單方法入手，往往用一種簡單的方法就可以輕松解題，卻用較繁瑣方法費(fèi)了九牛二虎之力，結(jié)果還不一定正確，造成這種情況的主要原因主要是學(xué)生對所學(xué)的判別方法的使用條件及特點(diǎn)不太熟悉，解題思路比較亂.所以在講解完常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法之后，非常有必要?dú)w納總結(jié)一下.一.級數(shù)收斂的概念和基本性質(zhì)給定一個數(shù)列｛｝，形如①稱為無窮級數(shù)(常簡稱級數(shù)),用表示。無窮級數(shù)①的前n項(xiàng)之和，記為=②稱它為無窮級數(shù)的
3、第n個部分和，也簡稱部分和。若無窮級數(shù)②的部分和數(shù)列｛｝收斂于s.則稱無窮級數(shù)收斂，若級數(shù)的部分和發(fā)散則稱級數(shù)發(fā)散。研究無窮級數(shù)的收斂問題，首先給出大家熟悉的收斂級數(shù)的一些基本定理：定理1若級數(shù)和都收斂，則對任意的常數(shù)c和d，級數(shù)亦收斂，且=c+d定理2去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項(xiàng)并不改變級數(shù)的斂散性定理3在收斂級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4級數(shù)①收斂的充要條件是：任給＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)m＞N和任意的自然數(shù)，都有＜以上是收斂級數(shù)的判別所需的一些最基本定理，但是，在處理實(shí)際問題中，僅靠這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所以在級數(shù)的理
4、論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別。二.正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)，正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列{}有界，即存在某正整數(shù)M，對一切正整數(shù)n有＜M。從基本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列基本的判別法1比較判別法設(shè)和是兩個正項(xiàng)級數(shù),如果存在某正數(shù)N，對一切n＞N都有，則（i）級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（ii）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。例1.設(shè)收斂，證明：收斂（>0）.證明：因?yàn)?<<易知：收斂（積分判別法），又收斂，所以收斂。由比較判別法知收斂（>0）.例2.證明：級數(shù)都
5、是條件收斂的。證：不妨設(shè)x>0,則>0，當(dāng)n>時，0<<,此時,且{}為單調(diào)遞減數(shù)列，且=0。由萊布尼茨判別法知收斂。而當(dāng)n>時，=>0，=1又發(fā)散，由比較判別法知也發(fā)散。所以，級數(shù)都是條件收斂的。例3.證明級數(shù)收斂證：0<=<=.===0由比值判別法知收斂，再由比較判別法知收斂，即有：級數(shù)收斂。根據(jù)比較原則，我們得到了兩個更為實(shí)用的判別法，即柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法。2柯西判別法（根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)，（i）若對一切n＞，成立不等式＜1，則級數(shù)收斂。（ii）若對一切n＞，成立不等式則級數(shù)發(fā)散。例1.判別級數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?所以
6、由根式判別法知級數(shù)收斂。3達(dá)朗貝爾判別法（比值判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0＜q＜1）.（i）若對一切n＞，成立不等式q，則級數(shù)收斂。（ii）若對一切n＞，成立不等式則級數(shù)發(fā)散。例1.判別級數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?=>1所以由比式判別法知級數(shù)發(fā)散。4積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對象來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性。設(shè)f為[1，+)上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。例1.判別級數(shù)的斂散性。解：設(shè)f(x)=,則f(x)在[3，+上非負(fù)遞減。若，這時有==當(dāng)小q＞1時級數(shù)收斂；當(dāng)小q1時級數(shù)發(fā)散；
7、若,這時有=對任意的q，當(dāng)時，取t>1,有=0即該積分收斂。當(dāng)時，有=即該積分發(fā)散。5拉貝判別法設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)r，（i）若對一切n＞，成立不等式＞1，則級數(shù)收斂。（ii）若對一切n＞，成立不等式則級數(shù)發(fā)散。例1.判別級數(shù)（x>0）的斂散性。解：因?yàn)?[1-]=所以由拉貝判別法知，當(dāng)小x＞1時級數(shù)收斂；當(dāng)小x1時級數(shù)發(fā)散；6對數(shù)判別法對于正項(xiàng)級數(shù)，如果存在，則當(dāng)q>1時，級數(shù)收斂；當(dāng)q<1時，級數(shù)發(fā)散。例1判別級數(shù)=的斂散性。證明：==ln5>1因此有對數(shù)判別法可知級數(shù)=收斂。7雙比值判別法對于正項(xiàng)級數(shù)，如果存在==，則當(dāng)<時，級數(shù)收斂；當(dāng)>時
8、，級數(shù)發(fā)散。例1判別級數(shù)
