第1章 矢量分析與場(chǎng)論

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1、第1章矢量分析與場(chǎng)論1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.2圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.3矢量場(chǎng)1.4標(biāo)量場(chǎng)1.5亥姆霍茲定理習(xí)題1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量，例如，電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。實(shí)際上，所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=aA（1-1-1）其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于

2、1。圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向?？臻g的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為r=axX+ayY+azZ（1-1-2）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A

3、在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz（1-1-3）矢量A的大小為A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2（1-1-4）1.1.2矢量的代數(shù)運(yùn)算1.矢量的加法和減法任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(1-1-5)任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加，即D=A

4、-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz)(1-1-6)2.矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。1）標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，記為A·B=ABcosθ(1-1-7)圖1-2標(biāo)量積的圖示例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：ax·ay=ay·az=ax·az=0ax·ax=ay·ay=az·az=1任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1-1

5、-9)標(biāo)量積服從交換律和分配律，即A·B=B·A(1-1-10)A·(B+C)=A·B+A·C(1-1-11)(1-1-8)2）矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖1-3所示，記為C=A×B=anABsinθ(1-1-12)an=aA×aB（右手螺旋）圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋(a)矢量積的圖示；(b)右手螺旋矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢

6、量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即A×B=-B×A(1-1-13)A×(B+C)=A×B+A×C(1-1-14)直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為(1-1-15)=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他運(yùn)算詳見附錄一。1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.2.1圓柱坐標(biāo)系空間任一

7、點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(ρ,φ,z)來(lái)表示，如圖1-4所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖1-4可以看出，圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為x=ρcosφy=ρsinφz=z（1-2-1）如同直角坐標(biāo)系一樣，圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)坐標(biāo)面（1-2-2）表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變化范圍為0≤ρ<∞。坐標(biāo)面（1-2-3）

8、表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。坐標(biāo)面z=常數(shù)（1-2-4）表示一個(gè)平行于xy平面的平面。z的變化范圍為-∞