對(duì)非齊次偏微分方程的求解 齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題

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1、對(duì)非齊次偏微分方程的求解齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題對(duì)非齊次偏微分方程的求解齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題（一）沖量定理法（二）傅立葉級(jí)數(shù)法齊次邊界條件下非齊次場(chǎng)位方程的混合問題（一）方程和邊界條件同時(shí)齊次化非齊次方程的求解思路?用分解原理得出對(duì)應(yīng)的齊次問題?解出齊次問題?求出任意非齊次特解?疊加成非齊次解方法一沖量定理法前提條件：除了方程為非齊次的外，其它定解條件都是齊次的(初始條件均取零值)?；舅悸罚豪茂B加原理將受迫振動(dòng)的問題轉(zhuǎn)化為（無(wú)窮多個(gè)）自由振動(dòng)問題的疊加.?utt?a2uxx?f(x,t)???ux?0?0,ux?l?0???ut?0

2、??(x),utt?0??(x)試設(shè)u?u1?u22??2u12?u1,?2?a2?x??t?u1(x,0)?u(x,0)??(x),??(x),?1?t??u1(0,t)?0,u1(l,t)?02??2u22?u2?f?x,t?,?2?a2?x??t，??u2(x,0)u(x,0)?0,?0,?2?t??u2(0,t)?0,u2(l,t)?0.物理意義：在時(shí)間0—t內(nèi)，可以把非齊次項(xiàng)（單位質(zhì)量所受的持續(xù)作用力）看成許多前后相繼（無(wú)窮多個(gè)）的“瞬時(shí)”力引起的物理過(guò)程的線性疊加。12??2?2??,t???2?a2?x??t???0,?tt???f(x,?)d?,?t?

3、????x?0?0,?x?l?02??2v2?v,t???2?a2?x??t?v?0,vtt???f(x,?),?t???v?0,v?0x?l?x?0相應(yīng)的，我們也可以把位移u(x,t)也表示為u2(x,t)??v(x,t;?)d?，0t則v(x,t;?)d?就應(yīng)當(dāng)是瞬時(shí)力所產(chǎn)生的位移.更進(jìn)一步說(shuō)，v(x,t,?)就是定解問題2??2?2??,t???2?a2?x??t???0,?tt???f(x,?)d?,?t?????x?0?0,?x?l?02??2v2?v,t???2?a2?x??t?v?0,vtt???f(x,?),?t???v?0,v?0x?l?x?0的解.

4、非齊次項(xiàng)只存在于?時(shí)刻，其全部效果只是使得弦在?時(shí)刻獲得一個(gè)瞬時(shí)速度.那么由偏微分方程的積分??推導(dǎo)出??0?02??0?v??0?2v2?a???f(x,?)?(t??)d???0?x2??0?t2?v(x,t,?)?tt???0?f(x,?)令t1?t??則定解問題就可以寫成這種形式（t???0簡(jiǎn)寫成t??）2??2v2?v,t???2?a2?t?x?1?v?0,vt1?f(x,?),t1?0?t1?0??vx?0?0,vx?l?0在運(yùn)算過(guò)程中，十分需要注意的是，瞬時(shí)力的重復(fù)計(jì)算，不能把瞬時(shí)力既算入定解方程的其次項(xiàng)內(nèi)，又算入初速度內(nèi)！總結(jié)一下，在上面的過(guò)程中，沖量

5、定理就把求解非齊次方程、齊次邊界條件以及齊次初條件的定解問題轉(zhuǎn)化成了對(duì)齊次方程、齊次邊界條件的定解問題的2求解，最后將其疊加?vt?n?a?n?n(x,1)??n?1??Bn(?)sinlt1??sinlx?vx,t)????Bn?a?n?n(n(?)sin?t???sinxn?1?l??l其中Bn(?)?2ln?a?0f(?,?)sinn?l?d?ut?tn?a2(x,t)??0v(x,t;?)d????0Bn(?)sinl(t??)sinn?lxd?n?1?u1(x,t)??(Cn?alt?Dn?al)sinn?ncosnsintlx(n?1,2,3,?)n?1u

6、?u1?u2例題1求定解問題?2u2?t2?a2?u?x2?A0sin?t，0?x?l，t?0，ux?0?0，ux?l?0，t?0，ut?0?0，?u?tt?0?0，0?x?l,其中，a、A0、?均為已知常數(shù)解：用沖量定理法進(jìn)行求解，此時(shí)的v(x,t;?)應(yīng)當(dāng)滿足定解問題?2v2?t2?a2?v?x2，0?x?l，t??，vx?0?0，vx?l?0，t??，vt???0，?v?tt???A0sin??，0?x?l，即可得出定解問題的一般解?v(x,t;?)????Cn?t??)?Dn??n?nsina(ncosa(t??)n?1?ll??sinlx3根據(jù)題意條件可得D

7、n?0，Cn?2n?aA0sin???sin0l2A0ln??xdx?1?(?1)n?2??sin??l(n?)a所以，綜上可得u(x,t)??v(x,t;?)d?0t4A0l?12n?12n?1?2?sin?x?sin??sin?a(t??)d??0?an?0(2n?1)2llt4A0l2?2?a112n?1sin?x?222(2n?1)ln?0?(2n?1)?a??(?l)???(2n?1)?asin???(?l)sin??2n?1??at?l?方法二：傅立葉級(jí)數(shù)法前提條件：齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題，必須是齊次的邊界條件中心思想：首