講非齊次邊界條件的齊次化處理.ppt

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1、§8.3非齊次邊界條件的齊次化處理從之前的討論中可知，除穩(wěn)定場問題需部分非齊次邊界來確定疊加系數(shù)外，其它情況總是要求邊界條件為齊次。這是分離變量法的適用條件。這也是本征函數(shù)有解且解具有正交完備性的基本要求。所以對于一些非齊次邊界,我們總是想辦法將其齊次化。一、Ⅰ類非齊次邊界的齊次化處理如果能將非齊次邊界問題u轉(zhuǎn)化為齊次邊界問題w和一個較簡單函數(shù)v的疊加，即u=w+v，而函數(shù)v滿足u的邊界條件，這樣w滿足的邊界即為齊次邊界。其中函數(shù)v的選取具有一定的隨機(jī)性，有時要作多次嘗試，而且其形式不唯一。1、齊次方程的一般處理例如，自由振動問題對于第一類邊

2、界，不妨把v選為x的線性函數(shù)：代入邊界條件，可得待定系數(shù)則定解問題變?yōu)椋哼@樣問題轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件的非齊次方程。如果令還可以將w方程齊次化。這里的m(t)和n(t)為不高于時間t二次方的函數(shù)。這時，函數(shù)v(x,t)相當(dāng)于方程的一個特解，而選取的機(jī)動函數(shù)只要滿足齊次邊界w(0)=0=w(l)，便不會影響v(x,t)的齊次化。例1：求定解問題根據(jù)上面的分析，可令線性函數(shù)并讓v(x,t)滿足非齊次邊界：又v(x,t)為方程的特解，代入方程得：解得：由其邊界條件得：則定解問題變?yōu)椋簭亩鴨栴}轉(zhuǎn)化為關(guān)于w(x,t)的齊次邊界條件的齊次方程，解之得其中系數(shù)

3、由初條件確定為：從而可得u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)。2、非齊次方程若上面為非齊次方程，且f(x,t)=f(x)，稱為穩(wěn)恒方程，則在確定機(jī)動函數(shù)w(x)時得到的方程為非齊次常微分方程，所以可用常數(shù)變易法求解，這樣仍然可以轉(zhuǎn)化為含齊次邊界的齊次方程。但是，當(dāng)f(x,t)含有時間項時（非穩(wěn)恒方程），只能將非齊次邊界齊次化，而很難用求w(x)的辦法使方程齊次化，這樣只能轉(zhuǎn)化為含齊次邊界的非齊次方程。如下例：例2：其它條件不變，僅讓例1的方程變?yōu)榻猓毫顒tv(x,t)滿足非齊次邊界。令u=v+w，得定解問題用本征函數(shù)展開得：其中由初條件得：

4、作拉氏變換，解得：從而可得通解u=v+w。用沖量法再解上述非齊次方程，方程可分解為：解滿足w=w1+w2。其中齊次方程Ⅱ的通解為非齊次方程Ⅰ的解可用沖量法求，先求解方程解得：將通解代入初條件得：故從而可得通解u=v+w。3、特殊處理當(dāng)非齊次邊界為時間的周期函數(shù)時，還可以作特殊的齊次化處理，即取v(x,t)也為時間的周期函數(shù)。例3：求定解方程令v(x,t)=X(x)sinwt是齊次方程的一個特解，并滿足非齊次邊界，則分離變量得：再令u=v+w，則上面的定解問題變?yōu)椋航庵茫浩渲邢禂?shù)：最后可得通解u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)。當(dāng)φ(x

5、)=0=ψ(x)時，即為課本例2，則此時系數(shù)：為0所以，當(dāng)邊界處的外加力頻率ω與某一本征振動頻率ωn接近時，即這便是共振。方法二：該題也可以用一般處理法，令u=v+w，其中所以定解方程變?yōu)椋河杀菊骱瘮?shù)展開法或沖量法可解出：同樣產(chǎn)生共振。因為有傅氏展開所以，兩種解法的結(jié)果是完全相同的。ω→ωn為1二、Ⅱ類非齊次邊界的齊次化處理如果上述的定解問題為第二類非齊次邊界，即則vx需作x變量的線性型變換，即令滿足非齊次邊界，從而可得若給v(x,t)增加一個隨機(jī)函數(shù)w(x)還可將方程齊次化。總之，第二類非齊次邊界的處理辦法和第一類完全相同。三、其它非齊次邊

6、界的齊次化處理下面給出其它非齊次邊界條件下的函數(shù)v(x,t)的形式：v的x線性型變換不可行？顯然函數(shù)v(x,t)滿足各自的邊界條件，且不超過x和t的二次方。函數(shù)v(x,t)的形式不唯一，只要滿足邊界即可，因此上述(1)和(2)的形式也可以令為：四、分離變量法說明作業(yè)P175：1，32、二階線性偏微分方程的解不一定是分離變量的乘積形式，例如，和的形式u=x+y也是拉氏方程的解。1、常系數(shù)二階偏微分方程可用分離變量法，但變系數(shù)二階線性偏微分不一定能用分離變量法；