姿態(tài)的歐拉角表示

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1、題目：比較分析，找出一種適合乒乓球機(jī)器人的末端姿態(tài)的歐拉角方法姿態(tài)的歐拉角表示任何旋轉(zhuǎn)矩陣都可以通過三個(gè)歐拉角進(jìn)行參數(shù)化，一般來說，繞三個(gè)坐標(biāo)軸的順次旋轉(zhuǎn)可以達(dá)到任意的姿態(tài)，由于旋轉(zhuǎn)矩陣的乘法是非交換的，因此旋轉(zhuǎn)的次序是很重要的。按照旋轉(zhuǎn)所繞軸的次序的不同，共有12種不同的歐拉角。六種非對稱型歐拉角:XYZ，XZY，YXZ，YZX，ZXY和ZYX;六種對稱型歐拉角:XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ和ZYZ。記繞三個(gè)坐標(biāo)軸的基本旋轉(zhuǎn)矩陣為:1、非對稱型歐拉角表示當(dāng)三個(gè)旋轉(zhuǎn)所繞的坐標(biāo)軸相互不同時(shí)，稱為非

2、對稱型歐拉角表示。以XYZ歐拉角為例，假定起始時(shí)物體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，首先剛體繞物體坐標(biāo)系的x-軸旋轉(zhuǎn)α角，接著繞y-軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞z-軸旋轉(zhuǎn)角，則剛體最終的姿態(tài)矩陣為:上式給出了XYZ歐拉角參數(shù)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，反解該式可求得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，給定姿態(tài)矩陣R=【rij】3×3時(shí)，可求得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:從上式可以看出，當(dāng)β=π2時(shí)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)存在奇異。其他五種非對稱型歐拉角表示的姿態(tài)矩陣計(jì)算結(jié)果列于表1。這些表示均在β=π2時(shí)存在奇異。對稱型歐拉角表示當(dāng)三個(gè)旋轉(zhuǎn)所繞的坐標(biāo)軸第一個(gè)和第三個(gè)相同時(shí)，稱為

3、對稱型歐拉角表示，以ZYZ歐拉角為例，首先繞物體坐標(biāo)系的z-軸旋轉(zhuǎn)α角，接著繞y-軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞x-軸旋轉(zhuǎn)γ角，則剛體最終的姿態(tài)矩陣為:另外還有五種對稱型歐拉角表示的姿態(tài)矩陣列于表2。這些表示均在β=0時(shí)存在奇異。歐拉角表示與RPY角表示的對偶性姿態(tài)的三參數(shù)描述還有一種稱為RPY角參數(shù)的方法。1和2中所描述的歐拉角參數(shù)的運(yùn)動(dòng)過程都是在物體坐標(biāo)系中進(jìn)行的，因此其姿態(tài)矩陣是按照矩陣的右乘規(guī)則得到的。而RPY角參數(shù)的運(yùn)動(dòng)過程則是在慣性坐標(biāo)系中完成的，其姿態(tài)矩陣是按照矩陣的左乘規(guī)則得到。這樣，與12種歐拉角參

4、數(shù)相對應(yīng)的就有12種RPY角參數(shù)。以ZYXRPY角參數(shù)為例，其運(yùn)動(dòng)過程是:假定起始時(shí)物體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，剛體首先繞慣性坐標(biāo)系的z-軸旋轉(zhuǎn)γ角，接著繞慣性坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)角，最后繞慣性坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)角。最終剛體的姿態(tài)矩陣為:R'ZYX=R(x，α)R(y，β)R(z，γ)=RXYZ。因此，ZYXRPY角參數(shù)與XYZ歐拉角參數(shù)具有對偶關(guān)系。同樣的方法可以求得其他的11種歐拉角參數(shù)與相應(yīng)的11種RPY角參數(shù)之間的對偶關(guān)系。歐拉角參數(shù)表示的一階運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足正交矩陣的條件，即RRT=1，對這個(gè)式子兩邊求

5、導(dǎo)數(shù)，可得R·RT+(R·RT)T，因此是一個(gè)反對稱矩陣。我們定義^ω=R·RT為剛體的瞬時(shí)空間角速度矩陣，它是在慣性坐標(biāo)系中描述的。下面我們利用公式求剛體的瞬時(shí)空間角速度和歐拉角參數(shù)空間角速度之間的關(guān)系。設(shè)R=ABC，其中A、B和C是三種基本旋轉(zhuǎn)矩陣。計(jì)算R=ABC的角速度矩陣，有:寫成向量形式有:此處稱為XYZ型歐拉角參數(shù)表示的雅克比矩陣，由detJXYZ=cosβ可知，JXYZ在β=π/2時(shí)出現(xiàn)奇異，這就是XYZ型歐拉角參數(shù)的一階運(yùn)動(dòng)奇異位形。其他歐拉角參數(shù)表示的雅可比矩陣列于表3和表4。從表3可以

6、看出，非對稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=π/2時(shí)出現(xiàn)奇異，因此它們存在大角度的一階運(yùn)動(dòng)奇異;從表4可以看出，對稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=0時(shí)出現(xiàn)奇異，因此它們存在小角度的一階運(yùn)動(dòng)奇異。歐拉角參數(shù)表示的二階運(yùn)動(dòng)對式(4)繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到剛體的瞬時(shí)空間角加速度，它也是在慣性坐標(biāo)系中描述的。計(jì)算的結(jié)果如下，其他歐拉角參數(shù)表示的矩陣列于表5和表6。從表5可以看出，非對稱歐拉角表示在β=π/2時(shí)出現(xiàn)二階運(yùn)動(dòng)奇異，因此在這些點(diǎn)上存在大角度的二階運(yùn)動(dòng)奇異;從表6可以看出，對稱歐拉角表示都在β=0時(shí)出現(xiàn)二階

7、運(yùn)動(dòng)奇異，因此在這些點(diǎn)上存在小角度二階運(yùn)動(dòng)奇異。