上元積年的研究和其在魏晉南北朝時期的發(fā)展

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1、上元積年的研究和其在魏晉南北朝時期（220-589）的發(fā)展南京大學天文系史群摘要從三統歷開始，中國古代的歷法家都追求推算上元積年，要求日月合璧五星聯珠。上元不僅是回歸年、朔望月、干支年和干支日的整數倍數，同時要求是近點月、交點月和五星會合周期的倍數。在魏晉時代，各歷法家所推上元積年的數值就達數萬以上，隨著觀測精度的提高，積年數還將不斷增加。為了避免或減輕這些繁復運算，某些有創(chuàng)新精神的歷法家就進行改革。楊偉就設交會差率和遲疾差率，將交點月、近點月的因素排除在外。何承天更將五星運動的因素都排除在外，各設近距歷

2、元。這些措施都是先進的，可惜未被后世歷法家所采納。第一部分上元積年的研究一．上元積年上元是古代歷法所采用的一種理想歷元。它通常發(fā)生在某個甲子年天正11月的甲子日半夜，此時恰好是合朔冬至時刻，也就是說它既是朔，又是冬至節(jié)氣。月亮經過升交點或降交點，日月的經緯度正好相同，而且恰好是近地點或遠地點。木火土水金五大行星同時匯聚在位于北方之中虛宿之內的冬至點。“當斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然?！?“太初上元甲子夜半朔旦冬至時，七曜皆會聚斗、牽牛分度，夜盡如合璧連珠也。”3從上元到編歷年份的年數叫作積年，通稱上

3、元積年?！拔羧肆⒎ǎ赝魄笸派鷶抵?，謂之演紀上元?！?由此我們歸納上元的幾個特征：（1）甲子年天正11月甲子日夜半；（2）既是朔，又是冬至；（3）日月的經緯度正好相同；（4）木火土水金五大行星同時匯聚在位于北方之中虛宿之內的冬至點。與上元有關的天文、紀年常數有：回歸年、恒星年，朔望月、交點月、近點月，金木水火土五大行星的會合周期，歲名與日名的干支周期（60年）。對應上面的各個量，都可以列出一個同余方程。這樣，我們總共就得到了11個同余式。2個關于地球繞太陽的公轉，3個關于月亮繞地球的旋轉，5個分別對應

4、五大行星繞太陽的旋轉還有1個關于干支紀年法。我們令表示公元n年距上元積年，為回歸年常數，為朔望月常數，分別表示：恒星年；近點月；交點月；五大行星會合周期，那么那11個同余式可以表示成其中為所求的年的干支名，是天正11月朔的日的干支名以及小余，是所求年的年終潤余，上元至所求年冬至點位移，是所求年冬至時刻月亮近地點與冬至點的間距，是該年冬至時刻五大行星會合時刻的時間。二．計算上元的方法：a.中國剩余定理中國剩余定理，有叫做大衍總數術，或簡稱大衍術。最早出現在一本比元嘉歷早的著作《孫子算經》（約400年）中，它

5、是通過物不知數的題目表現出來的。“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”該題需要解同余式組孫子給出的答案是（為整數）而將此答案推廣，則是由后人秦九韶完成的。假定有一組同余式為余數，是要求的數，模數。所謂的大衍術，先確定一組定數，滿足：a.；b.；c.。其中，圓括號代表最大公約數，方括號代表最小公倍數。于是，同余式組就轉化成了然后，記。用大衍求一術求乘率，使得由此解得，原來的同余式的通解是其中，是待定整數，要求。剩余定理曾經被認為廣泛的用于計算上元積年，然而，由于其本身的缺陷

6、，得出的答案是錯誤的。沈欽裴、宋景昌對《數學九章》的校正中，揭示了秦九韶的犯的錯誤。剩余定理在計算上元時的不妥秦九韶曾經想用《四分歷》為例用大衍術求上元，但是沒有成功。大衍術將問數轉化成定數時，雖然可以處理并非兩兩互質的大量模數的問題，但是，忽視了考慮論證原同余式組和轉化后的同余式組它們的解是否相同。而事實上，原同余式組有解的充要條件是對于任意的都成立。同理，轉化后的同余式組有解的充要條件也是一樣的，對任意的都成立。顯然，由于，所以是恒有解的。但是卻不一定成立，也就是說，原同余式組不一定有解。通過上述的陳

7、述，我們可以作出結論，秦九韶的中國剩余定理不是中國歷史上最主要的計算上元積年的方法，在它之外，一定存在另一種獨立的算法。b.演紀術一行的《大衍歷》最早使用了演紀上元一詞。唐宋歷法沿用。前提條件是已經用調日法確定基本常數，如回歸年、朔望月，建立起了方程式規(guī)定上式所有余數的范圍作為將來調整用。對于方程組中的第一個方程，它的意義是以甲子為上元，直接將它代入第二個方程，調整第一個方程的余數，使第二個方程有解。然后再將解代入第三個方程式，調節(jié)第二個方程的余數，是第三個方程有解，……就這樣下去，一直到所有的同余式都接

8、出來為止。一旦有一步，某個同余式的余數在可調節(jié)的范圍內不存在適合的數，這說明，由調日法所得的各個常數還不夠精確，應當重新調日，重新構建同余式組。如果最后同余式組的解滿足，則上元隨之確定。但如果不滿足不等式，則需重新調日法，從頭再來。大衍術與演紀術的比較事實上，演紀術的算法來自《數學九章》。因為演紀術是以代入法求解問題，所以，如果一旦知道求解同余式，理論上就可以一步一步地解除任意同余式組。上式可解的充要條件是，有了這個關系作為判