[理學]幾何與線性代數(shù)習題及答案2

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1、習題九行列式（續(xù)）一、計算下列行列式：（1）。（2）==。（3）解：，因此，59。（4）解：按最后一行展開，可得：。二、用數(shù)學歸納法證明：證明：時，左邊==右邊；假設(shè)時，時，=。三、計算階行列式：59=。四、解方程：（1）解：左邊==0，。（2）解：左邊=，所以。59習題十逆矩陣一、填充題：（1）設(shè)為3階方陣，且，則4，4，16，1/4。（2）設(shè)是同階可逆矩陣，則。（3）已知，則。（4）設(shè)，則。（5）設(shè)三階方程滿足關(guān)系式，，且，則。二、設(shè)為3階方陣，且，求的值。解：因為所以。三、求下列矩陣的逆矩陣（1）（2）解：，解：，59。。四、設(shè)矩陣滿足如下關(guān)系式，其中，求矩陣。解：。可逆，。

2、五、設(shè)四階矩陣59，且矩陣滿足關(guān)系式：，求矩陣。解：，即：。有因為：可逆，所以，。六、設(shè)階矩陣和滿足，（1）證明為可逆矩陣；（2）證明（3）已知，求矩陣。證明（1）可逆。（2）由（1）。化簡即得。（3）。由（1）知可逆，所以，。七、已知階矩陣滿足，證明可逆，并求。59證明：，。變形可得：。因此可逆，且。八、設(shè)均可逆，則也可逆，并求其逆。證明：由于均可逆，所以，也可逆。并且，。九、設(shè)為階可逆矩陣，證明（1），（2）證明：（1）由于所以，，由于可逆，所以，因此，。（2）由（1）知，可逆，且，由于所以。習題十一分塊矩陣一、填充題：（1）如分別是階和階可逆矩陣，則。（2）如分別是階和階可逆

3、矩陣，為陣，則。（3）已知，則。59（4）已知，則。（5）已知，則。二、利用分塊矩陣的乘法計算下列矩陣的乘積：解：令則。三、求下列矩陣的逆矩陣：（1）（2）解：設(shè)，其中均為二階矩陣，解：設(shè)，其中均為二階矩陣，則則59=（3）（其中）解：設(shè)，其中為階矩陣，為一階矩陣，則。四、設(shè)，求及。解：，。。五、設(shè)分塊矩陣，，其中為階可逆矩陣，為矩陣，為矩陣，為實數(shù)，求的值（用表示）。59解：，。六、設(shè)都是階矩陣，可逆，且，，（1）計算；（2）利用（1）證明：。解：（1）=。（2）由（1），，而。七、設(shè)為階可逆矩陣，為矩陣，為系數(shù)，記分塊矩陣，，其中是矩陣的伴隨矩陣，（1）計算并化簡；（2）證明：

4、矩陣可逆的充要條件是。解：（1）=。59（2）由（1），，，由于可逆，所以，因此，所以，可逆。習題十二矩陣的初等變換和矩陣的秩一、選擇題：1．若是階可逆矩陣，則（B）（A）若，則（B）總可以經(jīng)過初等行變換化。（C）對矩陣實施若干次初等變換，當變?yōu)闀r，相應地正變?yōu)?。（D）對矩陣實施若干次初等變換，當變成時，相應地變?yōu)椤?．設(shè)，，，，則恒有（C）（A）（B）（C）（D）3．設(shè)為同階可逆陣，則（D）（A）（B）存在可逆矩陣，使（C）存在可逆矩陣，使（D）存在可逆矩陣和，使二、用矩陣的初等行變換求下列矩陣的秩（1）（2）59所以2。，所以。三、如，其中，，求。解：，。四、已知矩陣的秩是3，

5、求a的值。解：。五、用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣（1）解：，59。（2）解：。六、是階非零實矩陣，的元素，是的代數(shù)余子式，試證。證明：是階非零矩陣，。所以可逆，從而。習題十三線性方程組一、填空題：1．設(shè)是矩陣，則齊次線性方程組只有零解的充要條件是，有非零解的充要條件是。2．設(shè)是矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是，有無窮多解的充要條件是，無解的充要條件是。二、求解下列線性方程組：1．59解：原方程組等價于，令，則方程組的解為為任意實數(shù)。2．解：原方程組等價于令，則方程組的解為為任意實數(shù)。3．解：59令原方程組的解為。其中為任意實數(shù)。4．解：令則。5．解：，令則。其中為任意

6、實數(shù)。四、判斷下列線性方程組是否有解？若有解，解是否唯一？1.2.解：解：，互異，59，方程組有唯一解。，故方程組無解。四、問取何值時，下列方程組有非零解，并求其解。解：，當或時，，方程組有非零解。當時，。當時，。五、設(shè)有非齊次線性方程組問為何值時，此方程組有唯一解、無解或無窮多解？解：。當時，方程組有唯一解；當時，無解。當時，59方程組有無窮多解。。習題十四向量空間一、檢驗下列集合對于向量加法與數(shù)乘運算是否是實數(shù)域上的向量空間：（1）；解：設(shè)，則。。是實數(shù)域上的向量空間。（2）；解：顯然，不是實數(shù)域上的向量空間。（3）解：設(shè)，則顯然是實數(shù)域上的向量空間。二、設(shè)，問對于向量的加法與

7、數(shù)乘運算是不是實數(shù)域上的向量空間？解：設(shè)，則59。。是實數(shù)域上的向量空間。三、設(shè)問對于向量的加法與數(shù)乘運算是不是實數(shù)域上的向量空間？解：顯然，不是實數(shù)域上的向量空間。習題十五向量組的線性相關(guān)性一、填空題：1．設(shè)，，當滿足時，線性相關(guān)；當滿足時，線性無關(guān)。2．設(shè)線性無關(guān)，則它的任何一個部分組線性無關(guān)。3．設(shè)線性相關(guān)，則線性相關(guān)。4．設(shè)，，，是三個實數(shù)，則，，線性無關(guān)。5．設(shè)有維列向量組，記矩陣，則線性相關(guān)的充分必要條件是（用矩陣的秩表示）。二、設(shè)求及。解：。三、已知向量