幾何與線性代數(shù)習(xí)題及答案

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1、習(xí)題二十特征值與特征向量相似矩陣一、填空題：1．n階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；若λ,λ,?,λ是n階方陣A12nnnn的n個(gè)特征值，則∑λi=∑aii，∏λi=A。i=1i=1i=11*?12．已知三階矩陣A的三個(gè)特征值分別為1,2,3，則A=6，(A)=2/9。23．設(shè)A為n階方陣，Ax=0有非零解，則A必有一特征值為0。4．假設(shè)n階矩陣A的任意一行中n個(gè)元素之和都為a，則A有一特征值為a，對(duì)應(yīng)于此特T征值的一個(gè)特征向量是()1,1,?,1。A*5．若λ是可逆陣A的一個(gè)特征值，則A有一特征值為。λ?122?

2、T??6．已知向量α=(1,k,1)是矩陣A=212的一個(gè)特征向量，則k=-2，1。????221??二、求下列矩陣的特征值和特征向量：??122??324?????1．?3?11?2．?202??????22?1??423?22解：λE?A=(λ?3)(λ+3)=0，解：λE?A=(λ+1)(λ?8)=0,因此，λ=3,λ=λ=?3。因此λ=8,λ=λ=?1,123123當(dāng)λ=3時(shí)，解方程組(3E?A)X=0，當(dāng)λ=8時(shí)，解方程組(8E?A)X=0,11?4?2?2??10?1??5?2?4??10?1?????????3E

3、?A=??34?1?→?01?1?,8E?A=??28?2?→?01?1/2???????????2?24??000???4?25??000?TT故屬于λ=3的特征向量為k()1,1,1,(k≠0)。故屬于λ=8的特征向量為k()2,1,2。11當(dāng)λ=λ=?3時(shí)，解方程組(?3E?A)X=0，當(dāng)λ=λ=?1時(shí)，解方程組(?E?A)X=0,2323??2?2?2??10?1???4?2?4??212??????????3E?A=??3?2?1?→?012?,?E?A=??2?1?2?→?000?,??????????2?2?2?

4、?000???4?2?4??000?TTT故屬于λ=λ=?3的特征向量為k()1,?2,1,(k≠0)。故屬于λ=λ=?1的特征向量為k(1,?2,0)+k(0,?2,1)，23231248其中k,k不全為零。12?1?2?4??5?????三、設(shè)方陣A=??2x?2?與B=?y?相似，求x,y。??????4?21???4?解：因?yàn)锳與B相似，所以Tr(A)=Tr(B),A=B，從而，2+x=1+y,A=?15x?20=B=?20y，即?2+x=1+y?x=4?，所以?。??15x?20=?20y?y=5?1???四、設(shè)三階

5、方陣A的特征值為λ1=1，λ2=0，λ3=?1，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1=?2?，???2??2???2?????α2=??2?，α3=??1?，求A。?????1??2??12?2???解：令P=(α1,α2,α3)=?2?2?1?，則???212??122?1???1P=?2?21?，9????2?12?所以，?100??12?2??100??122???1???????1A=P?000?P=?2?2?1??000??2?21???9???????00?1??212??00?1???2?12??12???0??33??12

6、?=0。?33??22??0??33?五、設(shè)λ,λ是n階陣A的特征值，λ≠λ，ξ,ξ分別是A的屬于λ,λ的特征向量，12121212證明：ξ+ξ不是A的特征向量。12證明：用反證法。若ξ+ξ是A的屬于某特征值λ的特征向量，則1249A(ξ+ξ)=λ(ξ+ξ)，（1）1212由于ξ,ξ分別是A的屬于λ,λ的特征向量，所以1212Aξ=λξ,Aξ=λξ，（2）111222由（1）、（2）可得：λ(ξ+ξ)=λξ+λξ，121122所以(λ?λ)ξ+(λ?λ)ξ=θ，1122因?yàn)棣恕佴?，所以?ξ線性無(wú)關(guān)，因此λ=λ=λ。矛盾。12

7、1212六、設(shè)A,B是n階方陣，證明：AB與BA有相同的特征值。證明：下證當(dāng)λ是AB的特征值時(shí)也是BA的特征值，反之亦然。當(dāng)λ≠0時(shí)，E0?EB??E?B?λE?AB==????????AλE?AB?AλE??0E??1?1EB?E?B??EB?E?BA0==?λ?????=λAλE?0E??AλE?AλE11=E?BAλE=(E?BA)λEλλ=λE?BA。當(dāng)λ=0時(shí)，nn0E?AB=(?1)AB=(?1)BA=0E?BA。所以，AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。七、證明：1）如果A可逆，則AB與BA相似。*

8、*2）如果A可逆，A~B，則A~B。?A0??B0?3）如果A與B相似，C與D相似，則??與??相似。?0C??0D??1證明：1）因?yàn)锳可逆，所以A(AB)A=BA,所以AB與BA相似。2）因?yàn)锳可逆，A~B，所以A=B≠0，所以B可逆。?1存在可逆矩陣P，使得PAP=B，