幾何與線性代數(shù)習題及答案

幾何與線性代數(shù)習題及答案

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1、習題二十特征值與特征向量相似矩陣一、填空題:1.n階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關(guān);若λ,λ,?,λ是n階方陣A12nnnn的n個特征值,則∑λi=∑aii,∏λi=A。i=1i=1i=11*?12.已知三階矩陣A的三個特征值分別為1,2,3,則A=6,(A)=2/9。23.設(shè)A為n階方陣,Ax=0有非零解,則A必有一特征值為0。4.假設(shè)n階矩陣A的任意一行中n個元素之和都為a,則A有一特征值為a,對應于此特T征值的一個特征向量是()1,1,?,1。A*5.若λ是可逆陣A的一個特征值,則A有一特征值為。λ?122?

2、T??6.已知向量α=(1,k,1)是矩陣A=212的一個特征向量,則k=-2,1。????221??二、求下列矩陣的特征值和特征向量:??122??324?????1.?3?11?2.?202??????22?1??423?22解:λE?A=(λ?3)(λ+3)=0,解:λE?A=(λ+1)(λ?8)=0,因此,λ=3,λ=λ=?3。因此λ=8,λ=λ=?1,123123當λ=3時,解方程組(3E?A)X=0,當λ=8時,解方程組(8E?A)X=0,11?4?2?2??10?1??5?2?4??10?1?????????3E

3、?A=??34?1?→?01?1?,8E?A=??28?2?→?01?1/2???????????2?24??000???4?25??000?TT故屬于λ=3的特征向量為k()1,1,1,(k≠0)。故屬于λ=8的特征向量為k()2,1,2。11當λ=λ=?3時,解方程組(?3E?A)X=0,當λ=λ=?1時,解方程組(?E?A)X=0,2323??2?2?2??10?1???4?2?4??212??????????3E?A=??3?2?1?→?012?,?E?A=??2?1?2?→?000?,??????????2?2?2?

4、?000???4?2?4??000?TTT故屬于λ=λ=?3的特征向量為k()1,?2,1,(k≠0)。故屬于λ=λ=?1的特征向量為k(1,?2,0)+k(0,?2,1),23231248其中k,k不全為零。12?1?2?4??5?????三、設(shè)方陣A=??2x?2?與B=?y?相似,求x,y。??????4?21???4?解:因為A與B相似,所以Tr(A)=Tr(B),A=B,從而,2+x=1+y,A=?15x?20=B=?20y,即?2+x=1+y?x=4?,所以?。??15x?20=?20y?y=5?1???四、設(shè)三階

5、方陣A的特征值為λ1=1,λ2=0,λ3=?1,對應的特征向量依次為α1=?2?,???2??2???2?????α2=??2?,α3=??1?,求A。?????1??2??12?2???解:令P=(α1,α2,α3)=?2?2?1?,則???212??122?1???1P=?2?21?,9????2?12?所以,?100??12?2??100??122???1???????1A=P?000?P=?2?2?1??000??2?21???9???????00?1??212??00?1???2?12??12???0??33??12

6、?=0。?33??22??0??33?五、設(shè)λ,λ是n階陣A的特征值,λ≠λ,ξ,ξ分別是A的屬于λ,λ的特征向量,12121212證明:ξ+ξ不是A的特征向量。12證明:用反證法。若ξ+ξ是A的屬于某特征值λ的特征向量,則1249A(ξ+ξ)=λ(ξ+ξ),(1)1212由于ξ,ξ分別是A的屬于λ,λ的特征向量,所以1212Aξ=λξ,Aξ=λξ,(2)111222由(1)、(2)可得:λ(ξ+ξ)=λξ+λξ,121122所以(λ?λ)ξ+(λ?λ)ξ=θ,1122因為λ≠λ,所以ξ,ξ線性無關(guān),因此λ=λ=λ。矛盾。12

7、1212六、設(shè)A,B是n階方陣,證明:AB與BA有相同的特征值。證明:下證當λ是AB的特征值時也是BA的特征值,反之亦然。當λ≠0時,E0?EB??E?B?λE?AB==????????AλE?AB?AλE??0E??1?1EB?E?B??EB?E?BA0==?λ?????=λAλE?0E??AλE?AλE11=E?BAλE=(E?BA)λEλλ=λE?BA。當λ=0時,nn0E?AB=(?1)AB=(?1)BA=0E?BA。所以,AB與BA有相同的特征多項式,從而有相同的特征值。七、證明:1)如果A可逆,則AB與BA相似。*

8、*2)如果A可逆,A~B,則A~B。?A0??B0?3)如果A與B相似,C與D相似,則??與??相似。?0C??0D??1證明:1)因為A可逆,所以A(AB)A=BA,所以AB與BA相似。2)因為A可逆,A~B,所以A=B≠0,所以B可逆。?1存在可逆矩陣P,使得PAP=B,

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