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《量子力學(xué)課后習(xí)題答案》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)1．1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式，（1）以及，（2），（3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求對λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對λ的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下：89如果令
2、x=，則上述方程為這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1．2在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論
3、性的電子（），那么如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關(guān)系式，這樣，便有89在這里，利用了以及最后，對作一點討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二
4、象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。1．3氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。解根據(jù)，知本題的氦原子的動能為顯然遠遠小于這樣，便有89這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述
5、粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布——玻色分布或費米公布。1．4利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運能的量子化間隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。解玻爾——索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標(biāo)，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有這樣，便有這里的正負號
6、分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)可解出89這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有這時，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個積分這樣，便有（1）這里=2θ，這樣，就有（2）89根據(jù)式（1）和（2），便有這樣，便有其中最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運動時，有這時，玻爾——
7、索末菲的量子化條件就為又因為動能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且89具體到本題，有根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時，當(dāng)溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。1．5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？解關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負電子對的動力學(xué)過程，如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負電子對的問題，嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當(dāng)
8、涉及到這個過程的運動學(xué)方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當(dāng)對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對反需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有此外，還有于是，有89盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小，這
