量子力學(xué)課后習(xí)題答案

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1、量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)1．1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式，（1）以及，（2），（3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是λ取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求對(duì)λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)λ的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下：89如果令x=，則上述方程為這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，

2、但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1．2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（），那么如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平

3、方的乘積，即，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量——?jiǎng)恿筷P(guān)系式，這樣，便有89在這里，利用了以及最后，對(duì)作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。1．3氦原子的動(dòng)能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。解根據(jù)，知本題的氦原子的動(dòng)能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有89這里，利用了最后

4、，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布——玻色分布或費(fèi)米公布。1．4利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T，玻爾磁子，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔△E，并與

5、T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解玻爾——索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有這樣，便有這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)可解出89這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有這時(shí)，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個(gè)積分這樣，便有（1）這里=2θ，這樣，就有（2）89根據(jù)式（

6、1）和（2），便有這樣，便有其中最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有這時(shí)，玻爾——索末菲的量子化條件就為又因?yàn)閯?dòng)能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且89具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，當(dāng)溫度T=100K時(shí)，顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。1．5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電

7、子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過程，如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有此外，還有于是，有89盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這