[高等教育]工程高等代數(shù)答案--習(xí)題五

《[高等教育]工程高等代數(shù)答案--習(xí)題五》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、習(xí)題五A組1．填空題（1）當(dāng)方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，有惟一解的充分必要條件是．解因?yàn)槭怯形┮唤獾某湟獥l件．故由可得．（2）線性方程組有解的充分必要條件是．解對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換．所以方程組有解的充要條件是，即．（3）設(shè)階方陣的各行元素之和均為零，且，則線性方程組的通解為．解令顯然滿足方程組，又因?yàn)?，所以，即方程組的基礎(chǔ)解系中有一個(gè)向量，通解為32，k為任意常數(shù)．（4）設(shè)為階方陣，，且的代數(shù)余子式（其中，；），則的通解．解因?yàn)椋?，所以，并且有所以是方程組的解，又因?yàn)?，可知方程組的通解為，其中c為任意常數(shù)．（5

2、）設(shè)，其中，，則非齊次線性方程組的解是．解?。?）設(shè)方程有無(wú)窮多個(gè)解，則．解?。?．單項(xiàng)選擇題（1）齊次線性方程組解的情況是．(A)無(wú)解；(B)僅有零解；(C)必有非零解；(D)可能有非零解，也可能沒(méi)有非零解．答（C）．（2）設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，且為此方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則此方程組的基礎(chǔ)解系是．(A)；(B)；(C)；(D)．32答（A）．（3）要使，都是線性方程組的解，只要為．(A)；(B)；(C)；(D)．答（A）．（4）已知是的兩個(gè)不同的解，是相應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則的通解是．(A

3、)；(B)；(C)；(D)．答（B）．（5）設(shè)階矩陣的伴隨矩陣若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是．(A)不存在；(B)僅含一個(gè)非零解向量；(C)含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量；(D)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量．答（B）．（6）設(shè)有齊次線性方程組和，其中，均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：①若的解均是的解，則；②若，則的解均是的解；③若與同解，則；④若，則與同解．以上命題正確的是．（A）①，②；（B）①，③；（C）②，④；（D）③，④．答（B）．（7）設(shè)是矩陣，是矩陣，則線性方程組．（A）當(dāng)時(shí)僅有零解；（B）當(dāng)

4、時(shí)必有非零解；（C）當(dāng)時(shí)僅有零解；（D）當(dāng)時(shí)必有非零解．答（D）．（8）設(shè)是階矩陣，是維列向量．若秩秩，則線性方程組．（A）必有無(wú)窮多解；（B）必有惟一解；（C）僅有零解；（D）必有非零解．答（D）．3．求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系32(1)解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換，有．與原方程組同解的方程組為或?qū)憺?，其中為任意常?shù)．所以，基礎(chǔ)解系為．(2)解，與原方程組同解的方程組為32或?qū)憺槠渲校扇∪我獬?shù)，故．所以，基礎(chǔ)解系為．(3)解，，方程組組只有零解．(4)解32，與原方程組同解的方程組為或?qū)憺楣剩曰A(chǔ)解系為．4．求

5、解下列非齊次線性方程組．(1)解對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，32所以．無(wú)解．(2)解，所以原方程組有解．與原方程組同解的方程組為故．(3)解，，原方程組有解．與原方程組同解的方程組為所以原方程組的通解為32．(4)解，，原方程組有解．與原方程組同解的方程組為故通解為．5．問(wèn)取何值時(shí)，非齊次線性方程組(1)有惟一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)窮個(gè)解？32解系數(shù)行列式．當(dāng)且時(shí)，方程組有惟一解．當(dāng)時(shí)，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，則，故原方程組有解且有無(wú)窮多解．當(dāng)時(shí)，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換,．所以方程組無(wú)解．6．非齊次線性方程組當(dāng)取何值時(shí)有

6、解？并求出它的全部解．解對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，得，當(dāng)且時(shí)，方程組無(wú)解．當(dāng)時(shí)，有，方程組有解，且與原方程組同解的方程組為32故原方程組的解為．當(dāng)時(shí)，有與原方程組同解的方程組為故方程組的解為．7．設(shè)問(wèn)為何值時(shí)，此方程組有惟一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解．解系數(shù)行列式．當(dāng)且時(shí)，方程組有惟一解．當(dāng)時(shí)，有，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)通解為32．當(dāng)時(shí)，有，，故方程組無(wú)解．8．問(wèn)為何值時(shí)，非齊次線性方程組(1)有惟一解，求出惟一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)窮多解，并寫出通解．解方程組的增廣矩陣當(dāng)時(shí)，，方程組有惟一解．此時(shí)所

7、以，．當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)且時(shí)，，，方程組無(wú)解．32而當(dāng)且時(shí)，有，，方程組有解，且與原方程組同解的方程組為或?qū)憺楣试匠探M的通解為，其中為任意實(shí)數(shù)．9．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，已知是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解．解，所以，令，則為基礎(chǔ)解系，故方程組的通解為32，其中可取任意常數(shù)．10．設(shè)都是階方陣，且．證明．證明設(shè)，則有．可見(jiàn)每個(gè)都是的解向量．因，可知的解空間的維數(shù)是，所以向量組的秩小于等于，從而，于是．11．已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解．（1）證明方程組的系數(shù)矩陣的秩；（2）求的值及方程組的通

8、解．解（1）設(shè)是方程組的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其中　　　　　　?。畡t有，即是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解，且線性無(wú)關(guān)．（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）．所以，即．又矩陣中有一個(gè)2階子式，所以．因此．（2）因?yàn)橛?，則對(duì)原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，32，故原方程組與下面的方程組同解．選