第5章(二次型)線性代數(shù)及其應(yīng)用

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1、第5章二次型二次型與對稱矩陣二次型的標(biāo)準(zhǔn)化慣性定理二次型的規(guī)范形正定二次型Mathematica軟件應(yīng)用第5.1節(jié)二次型與對稱矩陣二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形問題.這里首先介紹一些基本概念，然后討論如何利用可逆線性變換把一個二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.基本內(nèi)容二次型的定義二次型的矩陣表示稱為n元二次型，簡稱二次型.稱為二次型的系數(shù).1.二次型定義定義1f(tx,ty)=t2f(x,y)例如f(x,y)=2x2-xy+3y2定義2（二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）只含有平方項(xiàng)的二次型，即稱為標(biāo)準(zhǔn)形.例如：一般二次型標(biāo)準(zhǔn)型2.二次型的矩陣

2、表示對二元二次型，有二次型的矩陣表示一般地，對n元二次型二次型f與實(shí)對稱矩陣是一一對應(yīng)的.稱A為二次型f的矩陣；稱A的秩為二次型f的秩.二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形與對角矩陣是一一對應(yīng)的.二次型的矩陣表示例1寫出二次型的矩陣表示解問題：如何將一個二次型經(jīng)過可逆（滿秩）的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形？即通過怎樣的線性變換將一個帶有交叉的二次齊次多項(xiàng)式(一般二次型)化簡為只含有平方項(xiàng)的二次齊式(標(biāo)準(zhǔn)形).第5.2節(jié)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化1.預(yù)備知識將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，需要借助線性變換來實(shí)現(xiàn)．首先回顧線性變換的概念．若C可逆，稱之為可逆線性變換；若C是正交矩陣，稱之為正交

3、線性變換.其次，給出矩陣合同的概念．對n元二次型，我們關(guān)心的主要問題是：尋找可逆的線性變換x=cy，使將上式中A和?滿足的特殊關(guān)系一般化，有以下定義:定義（合同矩陣）：設(shè)A、B為n階矩陣，如果有可逆矩陣C，使CTAC=B稱A與B合同.合同是矩陣之間的一種關(guān)系，具有反身性對稱性傳遞性定理：可逆線性變換后的二次型矩陣與原二次型的矩陣合同．二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題轉(zhuǎn)化為：如何將一個實(shí)對稱矩陣合同于一個對角矩陣。1.正交變換法由于二次型的矩陣A都是實(shí)對稱矩陣，根據(jù)上一節(jié)的結(jié)果知,存在正交矩陣Q，使Q–1AQ=QTAQ=Λ為對角陣.將此結(jié)論應(yīng)用于二次型，

4、有如下結(jié)論定理任意n元實(shí)二次型f=xTAx，都可經(jīng)正交變換x＝Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：①寫出二次型f的矩陣A；②求正交矩陣Q，使得為對角陣；③正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f=yTΛy.解(i)二次型f的矩陣為例1求一個正交變換x＝Qy把二次型(ii)求出A的全部特征值及線性無關(guān)特征向量化為標(biāo)準(zhǔn)形.得對應(yīng)的一個線性無關(guān)的特征向量當(dāng)λ1=0,時解方程組(0E-A)x=0.當(dāng)λ2=λ3=2,時解方程組(2E-A)x=0.得對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為(iii)將所求特征向量正交化、單位化因?1分別與?2，?3正交,故只

5、需將?2，?3正交化.正交化單位化則正交變換x＝Qy將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形(iv)寫出正交變換令正交變換是線性變換中的特殊一類，它具有保持向量的內(nèi)積、長度不變等優(yōu)點(diǎn)，即若x＝Qy為正交變換，則所以正交變換能保持幾何圖形的大小和形狀不變．解(1)二次型f的矩陣為例2已知二次型經(jīng)正交變換標(biāo)準(zhǔn)化后，二次型標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)是矩陣A的全部特征值,根據(jù)特征值的性質(zhì)，有通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形(1)求參數(shù)a，并指出二次曲面所屬的曲面類型;(2)當(dāng)時，求f的最大值,其中化簡為這是一個橢球面，所以曲面解得設(shè)二次型經(jīng)正交變換x＝Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形，則通過正交變二次曲

6、面方程2.配方法例3用配方化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的可逆線性變換.解(1)由于f中含有x1的平方項(xiàng),首先把含x1的項(xiàng)歸并起來進(jìn)行配方，得則可逆線性變換x＝Cy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：解(2)由于f中不含有平方項(xiàng),首先令所求可逆線性變換為x＝Cz，這里配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（小結(jié)）利用和的平方公式逐步消非平方項(xiàng)（交叉項(xiàng)）.(1)若二次型含有xi的平方項(xiàng)，則把含有xi的項(xiàng)集中,再按xi配成平方項(xiàng)，其余類推，直至都配成平方項(xiàng)；(2)若在二次型中沒有平方項(xiàng),但aij≠0(i≠j),則首先作可逆線性變換：化二次型為(1)的情形，再配方.可以證明定理任

7、何實(shí)二次型，都可經(jīng)過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.用矩陣語言表述，即是定理對于任何實(shí)對稱矩陣A，總存在可逆矩陣C，使得CTAC=?為對角矩陣，即實(shí)對稱矩陣一定合同于一個對角矩陣．.3.初等變換法定理對任何實(shí)對稱矩陣A,一定存在初等矩陣P1,P2…Ps,使PsT···P2TP1TAP1,P2···Ps=?為對角矩陣.證A為實(shí)對稱矩陣,故存在可逆線性變換x＝Cy使f(x1,···,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yT?y為標(biāo)準(zhǔn)形.由于C為可逆矩陣，因此可以寫成一系列初等矩陣的乘積,即C=P1P2···Ps從而CTAC=PsT

8、···P2TP1TAP1P2···Ps=?定理表明：對A的行每作一次初等變換的同時，也對A的列作相同的初等變換，經(jīng)過若干次這樣的雙變換就可把A化為對角矩陣?.初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：(