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1、§6二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)二階線性微分方程的概念二階線性齊次微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)常數(shù)變易法一.二階線性微分方程的概念定義1：二.二階線性微分方程解的性質(zhì) 與通解的結(jié)構(gòu)設(shè)有二階線性齊次微分方程(2)關(guān)于(2)的解，我們有：定理1都是方程(2)的解，線性齊次方程的解具有可疊加性。說(shuō)明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念.定義2成立，則
2、稱此n個(gè)函數(shù)在I內(nèi)線性相關(guān)，否則線性無(wú)關(guān)。例如，在(??,??)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見(jiàn)在任何區(qū)間I上都線性無(wú)關(guān).特別地:兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無(wú)妨設(shè)線性無(wú)關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無(wú)關(guān)Dec.15Wed.Review1.二階線性微分方程(2)定理1若是方程(2)的解，則它們的任意組合：都是方程(2)的解，其中為任意常數(shù)。2.線性齊次方程
3、的解具有可疊加性3.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)成立，則稱此n個(gè)函數(shù)在I內(nèi)線性相關(guān)，否則線性無(wú)關(guān)。定理2對(duì)高階線性齊次方程，有類似定理：定理3若是n階線性齊次方程其中為任意常數(shù)。的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則它的通解為：三.二階線性非齊次微分方程 解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)定理4設(shè)是非齊次方程的一個(gè)特解，為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解。證明：由假設(shè)知：例已知是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，容易驗(yàn)證：故該方程的通解為，為該方程的一個(gè)特解.例1證明：如果和是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則是對(duì)應(yīng)齊次方程的解。已知二階線性非齊次方程的
4、3個(gè)特解為求該方程滿足初始條件的特解。證明：要求出非齊次方程的通解，須先構(gòu)造齊次方程的通解.只有零解。故得齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，非齊方程的通解為：例2.已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三解的疊加原理定理5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):常數(shù)變易法:對(duì)應(yīng)齊次方程的通解:設(shè)非齊次方程的解為代
5、入原方程確定對(duì)二階非齊次方程情形1.已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③的解為③由于有兩個(gè)待定函數(shù),所以要建立兩個(gè)方程:④⑤令于是將以上結(jié)果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對(duì)應(yīng)齊次方程的解積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說(shuō)明:將③的解設(shè)為只有一個(gè)必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個(gè)條件,方程⑤的引入是為了簡(jiǎn)化計(jì)算.情形2.僅知③的齊次方程的一個(gè)非零特解代入③化簡(jiǎn)得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:例5.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方
6、程組:積分得故所求通解為例6.的通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為已知對(duì)應(yīng)的齊次方程有特解:令代入非齊次方程后化簡(jiǎn)得此題不需再作變換.特征根:設(shè)⑦的特解為于是得⑦的通解:故原方程通解為(二階常系數(shù)非齊次方程)⑦代入⑦可得:解：Hw:p3011(2,4,6,8)5,8.
