線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)(I)

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1、線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)第四節(jié)一、二階線性微分方程二、二階線性微分方程解的性質(zhì)三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第九章一、二階線性微分方程——二階線性微分方程二階齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程n階線性微分方程：二、二階線性微分方程解的性質(zhì)證00性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4(非齊次線性方程解的疊加原理)例1的解，解問題1三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)回顧：問題2答:不一定.的解，例如：是某二階齊次線性方程的解,也是齊次線性方程的解并不是通解.但是則為解決通解的判別問題,還需引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.定義9.

2、1是定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù),使得則稱這n個(gè)函數(shù)在I上線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)例3下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？線性無關(guān)解例4故該函數(shù)組在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);解證明：函數(shù)組I上線性無關(guān).證(用反證法)假設(shè)：n個(gè)零點(diǎn),故這與矛盾！特別地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的情形：定理例如：注.可以證明：朗斯基行列式1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)推論n個(gè)線性無關(guān)的特解，則此方程的通解為方程：驗(yàn)證：例5定理9.2(二階非齊次線性方程(2)的解的結(jié)構(gòu))2.非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)例6例7

3、解(1)(2)齊次線性方程(2)的通解為：原方程(1)的通解為：求二階非齊次線性微分方程(2)的通解的關(guān)鍵：確定與其相對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解;(2)求(2)的一個(gè)特解.注.內(nèi)容小結(jié)解的疊加原理函數(shù)組線性相關(guān)與線性無關(guān)1、二階線性微分方程解的性質(zhì)2、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)思考題思考題解答：代入原方程，得備用題例6-1————————.解