非齊次線性微分方程通解的證明.docx

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1、非齊次線性微分方程通解的證明問題重述如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是區(qū)間上齊次線性微分方程（5.21）的基本解組，那么，非齊次線性微分方程(5.28)的滿足初值條件的解由下面公式給出（5.29）這里是的朗斯基行列式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式，（5.30）這里是適當(dāng)選取的常數(shù)。公式（5.29）稱為（5.28）的常數(shù)變易公式。我們指出，這時(shí)方程（5.28）的通解可以表示為證明考慮n階線性微分方程的初值問題（5.6）其中是區(qū)間上的已知連續(xù)函數(shù)，，是已知常數(shù)，我們指出，它可以化為下列線性微分方程組的初值問題：（5.7）其中事實(shí)上，令

2、這時(shí)而且現(xiàn)在假設(shè)是在包含的區(qū)間上（5.6）的任一解，由此，我們得知在上存在、連續(xù)、滿足方程（5.6）且令其中那么，顯然有，此外，我們還得到在此處鍵入公式。這就表示這個(gè)特定的向量是（5.7）的解，反之，假設(shè)向量u（t）是在包含的區(qū)間上（5.7）的解，令并定義函數(shù)，由（5.7）的第一個(gè)方程，我們得到，由第二個(gè)方程得到有第n-1個(gè)方程得到由第n個(gè)方程得到由此即得同時(shí)，我們也得到這就是說，是（5.6）的一個(gè)解總之，由上面的討論，我們已經(jīng)證明了初值問題（5.6）與（5.7）在下面的意義是等價(jià)的：給定其中一個(gè)初值問題的解，我們可以構(gòu)造另一個(gè)初值問題的解。值得指出的是，每一個(gè)n階線性

3、微分方程可化為n個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。本段討論非齊次線性微分方程組（5.14）的解的結(jié)構(gòu)問題，這里是區(qū)間上已知nxn連續(xù)矩陣，是區(qū)間上的已知的n維連續(xù)列向量，向量通常稱為強(qiáng)迫項(xiàng)，因?yàn)槿绻?.14）描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，就代表外力。我們?nèi)菀昨?yàn)證（5.14）的兩個(gè)簡單性質(zhì)性質(zhì)1如果是（5.14）的解，是（5.14）對(duì)應(yīng)的其次線性微分方程組（5.15）的解，則是（5.14）的解性質(zhì)2如果和是（5.14）的兩個(gè)解，則是（5.15）的解下面的定理7給出（5.14）的解的結(jié)構(gòu)定理7設(shè)是（5.15）的基解矩陣，是（5.14）的某一解，則（5.14）的任一解都可表

4、為（5.23）這里c是確定的常數(shù)列向量證明由性質(zhì)2我們知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到這里c是確定的常數(shù)列向量，由此即得定理證畢定理7告訴我們，為了尋求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組（5.15）的基解矩陣，現(xiàn)在，我們要進(jìn)一步指出，在已經(jīng)知道（5.15）的基解矩陣的情況下，有一個(gè)尋求（5.14）的解的簡單方法，這個(gè)方法就是常數(shù)變易法。從上一節(jié)我們知道，如果c是常數(shù)列向量，則是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我們將c變易為t的向量函數(shù)，而試圖尋求（5.14）的形如（5.24）的解，這里

5、是待定的向量函數(shù)。假設(shè)（5.14）存在形如（5.24）的解，這時(shí)，將（5.24）代入（5.14）得到因?yàn)槭牵?.15）的基解矩陣，所以，由此上式中含有的項(xiàng)消去了，因而必須滿足關(guān)系式（5.25）因?yàn)樵趨^(qū)間上是非奇異的，所以存在，用左乘（5.25）兩邊，然后積分之，得到其中=0，這樣，（5.24）變?yōu)椋?.26）因此，如果（5.14）有一個(gè)形如（5.24）的解，則由公式（5.26）決定。反之，用公式（5.26）決定的向量函數(shù)必定是（5.14）的解，事實(shí)上，微分（5.26）得到再利用公式（5.26），即得顯然，還有=0，這樣一來，我們就得到了下面的定理8定理8如果是（5.15

6、）的基解矩陣，則向量函數(shù)是（5.14）的解，且滿足初值條件由定理7和定理8容易看出，（5.14）的滿足初值條件的解由下面公式給出(5.27)這里是（5.15）的滿足初值條件的解，公式（5.26）或公式（5.27）稱為非齊次線性微分方程組（5.14）的常數(shù)變易公式。