非齊次線性微分方程幾種解法

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1、摘要我在此論文中主要討論長(zhǎng)微分方程中的非齊次線性微分方程的幾種解法。關(guān)鍵詞：線性相關(guān)，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯變換,線性無(wú)關(guān)，目錄摘要1引言31.階線性齊次微分方程的一般理論:32.階線性非齊次微分方程的一般理論:62.1常數(shù)變易法72.2待定系數(shù)法:92.1.1第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法92.2.2第二類型非齊次微分方程特解的待頂系數(shù)法122.3拉普拉斯變換法13總結(jié)15參考文選16致謝17引言非齊次線性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齊次線性微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次微分方

2、程的通解與非齊次線性微分方程的一個(gè)特解的之和。這個(gè)畢業(yè)論文中關(guān)鍵的任務(wù)是求它的一個(gè)特解。下面我們主要介紹求特解的方法。1.階線性齊次微分方程的一般理論:（1）（2）定理1：設(shè)方程（2）有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，這個(gè)線性無(wú)關(guān)的解稱為方程的基本解組。定理2：方程（2）的基本解組一定存在。方程（2）的基本解組的個(gè)數(shù)不能超過(guò)個(gè)。定理3：階線性非齊次微分方程的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè)特解之和。定理4：齊次方程（2）的個(gè)解在其定義區(qū)間上線性無(wú)關(guān)的充要條件是在上存在點(diǎn)，使得它們的朗斯基行列式。目前為止沒(méi)有求

3、方程（2）線性無(wú)關(guān)解的一般方法。下面我們研究幾個(gè)例子。例：方程的兩個(gè)解是它的通解為定理5：設(shè)是方程（2）的任意個(gè)解。是它的朗斯基行列式，則對(duì)區(qū)間上的任一有（3）上述關(guān)系式稱為劉維爾(Liouvlle)公式。我們手上有了這個(gè)定理，以后如果我們有二階線性齊次微分方程的一個(gè)特解。我們求了它的另一個(gè)解。對(duì)于二階齊次線性方程如果已知它的一個(gè)非零特解，依劉維爾公式（3），可用積分的方法求出與線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解，從而可求出它的通解。設(shè)是已知二階齊次方程一個(gè)解，根據(jù)公式（3）有或?yàn)榱朔e分上面這個(gè)一階線性方程，用乘上式兩

4、端，整理后可得由此可得易見(jiàn)是已知方程的一個(gè)解，即所對(duì)應(yīng)的解。此外，由于所以，所求得的解是線性無(wú)罐解。從而，可得已知方程的通解。（4）其中和是任意常數(shù)。例2:方程的一個(gè)解是試求其通解。解：容易看出，已知方程有特解根據(jù)公式（4）立刻可求得通解通解為在這里我們不討論三階，四階，階變系數(shù)線性非齊次微分方程。根據(jù)定理3，我們的關(guān)鍵的要求試求線性非齊次微分方程的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)基本解組的問(wèn)題了。2.階線性非齊次微分方程的一般理論:定理6:階線性非齊次方程（1）的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè)

5、特解之和。求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解的方法我們不能加強(qiáng)討論。我們加強(qiáng)討論的是它本身的一個(gè)特解。求特解的方法有下面的三種：（1）常數(shù)變易法；（2）待定系數(shù)法；（3）拉普拉斯法;下面我們介紹一下常數(shù)變易法。2.1常數(shù)變易法設(shè)為方程（2）的基本解組,則方程（2）的通解為：現(xiàn)在設(shè)一組函數(shù)，使為（1）的一個(gè)特解。式中是待定系數(shù)。滿足以下代數(shù)方程組。這個(gè)方程組的系數(shù)行列式是基本解組的朗斯基行列式，所以由以上方程組唯一確定，通過(guò)求積分可得求的表達(dá)式，這種求解線性非齊次方程解的方法稱為常數(shù)變易法。,例：求非齊次方程的通解。解：

6、知道對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)方程的特解為由關(guān)系式（5）滿足方程組解上述方程組，得,積分，通解為常數(shù)變易法是求非齊次線性微分方程特解的一般方法。但計(jì)算比較麻煩。例：求方程的解。解：知道對(duì)應(yīng)齊次方程基本解組是，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)方程的特解為由關(guān)系式（5），滿足方程組解上述方程組，得求:比較麻煩。所以下面我們介紹一下待定系數(shù)法。其計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但是主要使用于非齊次項(xiàng)的某些情形。2.2待定系數(shù)法:這里，我們考慮如下幾種類型的非齊次項(xiàng)。其中是多項(xiàng)式，是常數(shù)，首先求對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征根，

7、求特征根的方法我們不能加強(qiáng)討論。2.1.1第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法:現(xiàn)在，考慮時(shí)，非齊次方程（1）的特解的求法。先從最簡(jiǎn)單的二階方程（6）開(kāi)始。因?yàn)榻?jīng)過(guò)求任意階導(dǎo)數(shù)再與常數(shù)線性組合后，仍是原類型函數(shù)，所以，自然猜想到（6）有形如（7）的特解，其中為待定常數(shù)。將（7）代入（6）得到則（8）這樣，當(dāng)不是特征方程（9）的根時(shí)，則用（8）所確定的代入（7）便得到（6）的特解。當(dāng)是（9）的單根時(shí)，即，這時(shí)（8）無(wú)法確定。此時(shí)，可設(shè)特解為（10）并將它作為形式解代入(6)式，得因是當(dāng)特征根，故可解出這時(shí)（

8、6）便有形如（10）的特解，其中由（11）確定。如果是（9）的重根，則，這時(shí)（10）的形式已不可用。此時(shí)，可設(shè)特解為將它作為形式解，代入得到由于是二重根，故上式左端前兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為零，由此得到綜上所述，可以得到如下結(jié)論：設(shè)是次實(shí)或復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式。（1）當(dāng)不是特征根時(shí)，（10有形如。的特解，其中（2）當(dāng)是重特征根時(shí)，（1）有形如：的特解。其中也是形如上述的次多項(xiàng)式。上面考慮常數(shù)變易法不能解決的問(wèn)題，下面討論用待定系數(shù)法來(lái)解決。