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《常系數(shù)非齊次線性微分方程(II)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)一、二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法一、?為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若?不是特征方程的根,從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式(2)若?是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若?是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)?是特征方程的k重根時,可設(shè)特解例1.的一個特解.解:本題
2、而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例2.的通解.解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)第一步利用歐拉公式將f(x)變形第二步求如下兩方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有
3、特解:第三步求原方程的特解利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程均為m次多項式.第四步分析因均為m次實(shí)多項式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的k重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4.的一個特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:例5.的通解.解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為
4、特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為
