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《巧用定積分求極限(數(shù)學(xué)分析)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、定積分在求極限中的應(yīng)用1、知識準備1.1緒論微積分學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當重要的地位.然而,求極限又是微積分學(xué)中常常要面臨的問題.因此,積累更多求極限的方法應(yīng)是每位大學(xué)生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮,最常用的方法有極限的定義和性質(zhì),重要極限的結(jié)論,洛必達法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的定義時,往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯,只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進行放縮便可得到相應(yīng)的結(jié)果.但是,這種方法一方面敘述上比較麻煩,另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴格,也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達法則是用于
2、解決“”型的極限和“”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運算的問題,通過泰勒展式后可以達到某些項抵消效果.但若仔細觀察這些方法,其特點不是表達較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識.事實上,微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時代學(xué)習(xí)過的加法與減法,乘法與除法,乘方與開方以及冪運算與取對數(shù)運算的關(guān)系一樣,他們互為逆運算.倘若也能用到積分學(xué)知識來解決求極限的問題,那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.1.2定積分的概念下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內(nèi)任意插入
3、n-1個分點將分成n個區(qū)間,記,,作乘積(稱為積分元),把這些乘積相加得到和式(稱為積分形式)設(shè),若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法及分點的取法無關(guān),則稱這個唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分,記作,即.否則稱在上不可積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知,計算定積分與原函數(shù)有關(guān),故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在,區(qū)間進行特殊分割,分點進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等,但反之不成立,這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn),第15頁共15頁請讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示
4、無關(guān),即仔細觀察定積分的定義,我們一定會發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個特征.第一,定積分是無窮項和式的極限,容易知道一般項在項數(shù)趨近于無窮大時極限值必然趨近于零,否則和式極限不存在.第二,定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關(guān)系,它的一般項受到這一連續(xù)函數(shù)的約束,它是連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上進行了無窮的分割,各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長度的乘積的累加.對于極限,大學(xué)主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關(guān)極限,而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關(guān)極限.那么就讓我們先一一來回憶它們吧！1.3極限的概念數(shù)列的極限設(shè)為數(shù)列,
5、為實數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當時有,則稱數(shù)列收斂于,實數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.(讀作:當趨于無窮大時,的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限,則稱不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列.注1:關(guān)于:①的任意性.定義１中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正數(shù)可以任意小,說明與常數(shù)a可以接近到任何程度;②的暫時固定性.盡管有其任意性,但一經(jīng)給出,就暫時地被確定下來,以便依靠它來求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正數(shù),那么等等,同樣也是任意小的正數(shù),因此定義１
6、中的不等式中的可用等來代替.從而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正數(shù),我們可以限定小于一個確定的正數(shù).注2:關(guān)于:①相應(yīng)性,一般地,隨的變小而變大,因此常把定義作來強調(diào),是依賴于的;一經(jīng)給定,就可以找到一個;②多值性的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的,因為對給定的,若時能使得當時,有,則第15頁共15頁或更大的數(shù)時此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實上,在許多場合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在實際使用中的也不必限于自然數(shù),只要是正數(shù)即可;而且把“”改為“”也無妨.函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存
7、在常數(shù),對于任意給定的正數(shù)(不論它有多么小),總存在某正數(shù),使得當滿足不等式時,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限,記為.可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的,都是相應(yīng)的某個表達上的值無限地接近某個常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離散的,數(shù)列中的項在跳躍式地接近,而函數(shù)是連續(xù)的,函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意程度地接近.2、定積分與極限2.1定積分在求極限中應(yīng)用概述不難看出,無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限,它們都與定積分的定義存在著千絲萬縷的關(guān)系,那么就讓我們來揭曉它們之間玄機與奧秘吧.事實上,定積分
8、的定義中蘊含著一列數(shù)｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近確定的實數(shù)J=,這正是極限思想的存在,即.這就為我們求極限提供了一種獨特而有力的方法——利用定積分求極限.因為
