巧用定積分求極限(數(shù)學(xué)分析)

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1、定積分在求極限中的應(yīng)用1、知識(shí)準(zhǔn)備1.1緒論微積分學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的地位.然而,求極限又是微積分學(xué)中常常要面臨的問(wèn)題.因此,積累更多求極限的方法應(yīng)是每位大學(xué)生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮,最常用的方法有極限的定義和性質(zhì),重要極限的結(jié)論,洛必達(dá)法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的定義時(shí),往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯,只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進(jìn)行放縮便可得到相應(yīng)的結(jié)果.但是,這種方法一方面敘述上比較麻煩,另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴(yán)格,也只

2、能解決兩種形式的極限問(wèn)題.洛必達(dá)法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運(yùn)算的問(wèn)題,通過(guò)泰勒展式后可以達(dá)到某些項(xiàng)抵消效果.但若仔細(xì)觀察這些方法,其特點(diǎn)不是表達(dá)較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識(shí).事實(shí)上,微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)過(guò)的加法與減法,乘法與除法,乘方與開方以及冪運(yùn)算與取對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系一樣,他們互為逆運(yùn)算.倘若也能用到積分學(xué)知識(shí)來(lái)解決求極限的問(wèn)題,那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.1.2定積分的概念下面首先讓

3、我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)將分成n個(gè)區(qū)間,記,,作乘積(稱為積分元),把這些乘積相加得到和式(稱為積分形式)設(shè),若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法及分點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),則稱這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分,記作,即.否則稱在上不可積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知,計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān),故這里借助了不定積分的符號(hào).注2:若存在,區(qū)間進(jìn)行特殊分割,分點(diǎn)進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等,但反之不成立,這種思想在考題中經(jīng)

4、常出現(xiàn),第15頁(yè)共15頁(yè)請(qǐng)讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即仔細(xì)觀察定積分的定義,我們一定會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個(gè)特征.第一,定積分是無(wú)窮項(xiàng)和式的極限,容易知道一般項(xiàng)在項(xiàng)數(shù)趨近于無(wú)窮大時(shí)極限值必然趨近于零,否則和式極限不存在.第二,定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關(guān)系,它的一般項(xiàng)受到這一連續(xù)函數(shù)的約束,它是連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行了無(wú)窮的分割,各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積的累加.對(duì)于極限,大學(xué)主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函

5、數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關(guān)極限,而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關(guān)極限.那么就讓我們先一一來(lái)回憶它們吧！1.3極限的概念數(shù)列的極限設(shè)為數(shù)列,為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱數(shù)列收斂于,實(shí)數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.(讀作:當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限,則稱不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列.注1:關(guān)于:①的任意性.定義１中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù)a的接近程度,越小,表示接近得越

6、好;而正數(shù)可以任意小,說(shuō)明與常數(shù)a可以接近到任何程度;②的暫時(shí)固定性.盡管有其任意性,但一經(jīng)給出,就暫時(shí)地被確定下來(lái),以便依靠它來(lái)求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正數(shù),那么等等,同樣也是任意小的正數(shù),因此定義１中的不等式中的可用等來(lái)代替.從而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正數(shù),我們可以限定小于一個(gè)確定的正數(shù).注2:關(guān)于:①相應(yīng)性,一般地,隨的變小而變大,因此常把定義作來(lái)強(qiáng)調(diào),是依賴于的;一經(jīng)給定,就可以找到一個(gè);②多值性的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的,因?yàn)閷?duì)給定的,若時(shí)能使得當(dāng)時(shí),有,則第1

7、5頁(yè)共15頁(yè)或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上,在許多場(chǎng)合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù),只要是正數(shù)即可;而且把“”改為“”也無(wú)妨.函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù),對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它有多么小),總存在某正數(shù),使得當(dāng)滿足不等式時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為.可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的,都是相應(yīng)的某個(gè)表達(dá)上的值無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離

8、散的,數(shù)列中的項(xiàng)在跳躍式地接近,而函數(shù)是連續(xù)的,函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意程度地接近.2、定積分與極限2.1定積分在求極限中應(yīng)用概述不難看出,無(wú)論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限,它們都與定積分的定義存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,那么就讓我們來(lái)揭曉它們之間玄機(jī)與奧秘吧.事實(shí)上,定積分的定義中蘊(yùn)含著一列數(shù)｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近確定的實(shí)數(shù)J=,這正是極限思想的存在,即.這就為我們求極限提供了一種獨(dú)特而有力的方法——利用定積分求極限.因?yàn)?/p>