“五猴分桃”類型題簡易通解公式及推導(dǎo)

《“五猴分桃”類型題簡易通解公式及推導(dǎo)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、“五猴分桃”類型題簡易通解公式及推導(dǎo)“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。這是一個非常有名的趣味數(shù)學(xué)題,首先刊登在美國的報(bào)刊上。揚(yáng)劇說，最早是由偉大物理學(xué)家狄拉克提出來的,這一貌似簡單的問題曾困擾住了他，為了獲得簡便的計(jì)算方法，他把問題提供給當(dāng)時的一些數(shù)學(xué)家,但沒有得到滿意的結(jié)果。1979年,“諾貝爾獎”獲得者,李政道博士在“中國科技大學(xué)”講學(xué)時，特地提到此題；此后，研究該題的簡易計(jì)算方法，迅速風(fēng)靡國內(nèi)。曾對“五水手分椰子”的廣泛流傳,起過重要作用的,著名現(xiàn)代數(shù)理邏輯學(xué)家懷德海,曾用高階差分方程理論的通解和特解的關(guān)系，對“水手分椰子”一題,給出過一個答案為(-4)巧妙的特解

2、。近十多年來，在后來者的不斷努力下，一些比較簡便的方法也逐步涌現(xiàn)。但嚴(yán)格的來說：目前所取得的成果其本上還是僅是限于“五猴分桃”這樣一個具體題目上，離全面徹底而又簡捷地求解所有這種類型的題目，還存在著一定的距離。本人曾于1979年,在月刊《中國青年》看到(五猴分桃)一題,并求得其解。當(dāng)時,當(dāng)時,本人覺得就題論題意義己不大。于是通過五、六天的努力,終于演算出所有這種類題型的完整、簡捷的“通解公式”，并可非常簡易的求解。因此可以說這個公式，窮極了這類問題的計(jì)算深度、廣度及簡易度，（詳見下面的計(jì)算公式和例題)：但是，由于當(dāng)時自己在鄉(xiāng)下,信息閉塞,也沒把這個“通解公式”很當(dāng)一回事。

3、一幌三十多年又過去了，近段時間,因經(jīng)常上上網(wǎng),于是驚呀發(fā)現(xiàn):尋找“五猴分桃”類型題的簡易計(jì)算方法，竟是一個具有深刻背景的，已研論了二、三十年的熱門話題；而且至今仍未找到完美解決辦法。于是自己邊回想、邊演算，終于又重新推導(dǎo)出了“五猴分桃”類型題的“通解公式”，現(xiàn)將其公開發(fā)表如下“水手分椰子”類型題完整而又簡易的通解公式：y=an－db/cy－被分的某東西的總個數(shù),a－每次分的總份數(shù)(一般情況下，是總?cè)藬?shù))，n－總共分的次數(shù)，c－分a份后拿走的份數(shù)，b－每次分a份后的余數(shù)，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份數(shù)，注；當(dāng)b/c不為自然數(shù)時，則此時該題無解,也即y無解。其推導(dǎo)過程

4、如下設(shè)，最后一個人看到的某物數(shù)是ax+b(x為最后一次分a份后每份的數(shù))那么，前一個人看到的某物數(shù)為(xa+b)a/d+b=xa2/d+ba/d+b再前一個人看到的某物數(shù)為(bxa2/d+ab/d+b)=xa3/d2+b(a/d)2+ba/d+b同樣有，再前一個人看到的某物數(shù)為xa4/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b：再前一個人看到的某物數(shù)為y=xa5/d4+b(a/d)4+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b整理后得；y=[xa5+(ba4+dba3+d2ba2+d3ba+d4b)]/d4根據(jù)等比數(shù)例遞推公式并加以整理后有：y={xan+{an

5、-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}b}/dn-1y={xan+[a(n-1[1-(d/a)n]ba/c}/d(n-1)y={xan+[a(n-1)-（a(n-1)dn/an)]ad/c}/d(n-1)y=[xan+(an-dn)b/c]/d(n-1)y=[(xan+anb/c)-dnb/c]/d(n-1)y=(xan+anb/c)/d(n-1)-db/cy=an(x+b/c)/d(n-1)-db/c上式中的a(a/d)^(n-1)部分,若出現(xiàn)(a/d)有公約數(shù)時不得約分，否則a和d原有的定義就不存在了，同時也無法解題。故上式應(yīng)進(jìn)一步寫成：y=an[(x+b/c)/

6、d(n-1)]-db/c從上式可看出：若b/c不為自然數(shù)時，則(x+b/c)/d^(n-1)不為整數(shù),故下式通解公式此時也無解；若b/c為自然數(shù),則(x+b/c)d^(n-1)必可取得最小自然數(shù)1,或1的任意整倍數(shù)。通常在計(jì)算時，為了簡單,一般取最小自然數(shù)1,則上述方程的演算和推導(dǎo)最后可寫成下述簡易通解公式：y=an-db/c現(xiàn)在用上述通解公式來求解,本人在四月份的博客中(博客地址http://blog.sina.com.cn/u/2705935891)，12日、15日和16日所出的三道此種類型題目例一,在《九猴分桃》中：a=9,n=10,b=8,d=7,c=2根據(jù)通解公

7、式有y=910－8×7/2=3486784373。又如,《十六水手分椰子》中a=16,n=11,b=12,d=13,c=3根據(jù)通解公式有：y=1611－12×13/3=17592186044364。同樣，可得《二十三海盜分珠寶》的解為：y=2315－18×21/2=2315－189=2666352354391245418。在《五水手分椰子》中因b=1,c=1，n=6,：d=4。故y=a6-d=15621，由此也可看出:《五水手分椰子》也是這種類型題目中最簡單的題目之一以上題目,大家可以根據(jù)上面公式,對上述所出題目(或者按公式的