五猴分桃類型題簡易通解公式及推導

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1、“五猴分桃”類型題簡易通解公式及推導“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。這是一個非常有名的趣味數(shù)學難題,于1926年首先刊登在美國的郵報上。劇說，最早是由偉大物理學家狄拉克提出來的,這一貌似簡單的問題曾困擾住了他，為了獲得簡便的計算方法，他把問題提供給當時的一些數(shù)學家,但沒有得到滿意的結果。1979年，“諾貝爾"物理學獎獲得者李政道博士在“中國科技大學少年班”講學時，特意提到此題；此后，研究該題的簡易計算方法，迅速風靡國內(nèi)。曾對“五水手分椰子”的廣泛流傳,起過重要作用的,著名現(xiàn)代數(shù)理邏輯學家懷德海,曾用高階差分方程理論的通解和

2、特解的關系，對“水手分椰子”一題,給出過一個答案為(-4)的巧妙特解。近十多年來，在后來者的不斷努力下，一些比較簡便的方法也逐步涌現(xiàn)。但嚴格的來說：目前所取得的成果,其本上還是僅限于“五猴分桃”這樣一個具體的題目上，離全面徹底而又簡捷地求解所有這種類型的題目，還存在著一定的距離。本人曾于1979年,在月刊《中國青年》看到(五猴分桃)一題,并用不定方程求得其解。當時,本人覺得就題論題意義己不大。于是通過五、六天的努力,終于演算出，能求解所有這種類題型的完整、簡捷的“通解公式”(影響答案的各困素可以任意取值,并可非常簡易的求解，詳

3、見下面的計算公式和例題)：但是，由于當時自己在鄉(xiāng)下,信息閉塞,不知道這個“通解公式”有何意義。一幌三十多年又過去了，前段時間,因經(jīng)常上上網(wǎng),于是驚呀發(fā)現(xiàn):尋找“五猴分桃”類型題的簡易計算方法，竟是一個具有深刻背景的，已研論了二、三十年的熱門數(shù)學話題；而且至今仍未找到完美解決方法。于是自己邊回想、邊演算，終于又重新推導出了“五猴分桃”類型題的簡易“通解公式”?，F(xiàn)將其發(fā)表如下，與大家共同分享。“水手分椰子”類型題完整而又簡易的通解公式：y=an－db/cy－被分的某東西的總個數(shù),a－每次分的總份數(shù)(一般情況下，是總人數(shù))，n－總共

4、分的次數(shù)，c－分a份后拿走的份數(shù)，b－每次分a份后的余數(shù)，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份數(shù)，注；當b/c不為自然數(shù)時，則此時該題無解,也即y無解。其推導過程如下:設，最后一個人看到的某物數(shù)是:ax+b(x為最后一次分a份后每份的數(shù))那么，前一個人看到的某物數(shù)為:(xa+b)a/d+b=xa2/d+ba/d+b再前一個人看到的某物數(shù)為:(bxa2/d+ab/d+b)=xa3/d2+b(a/d)2+ba/d+b同樣有，再前一個人看到的某物數(shù)為xa4/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b：再前一個人看到的某物數(shù)為

5、:y=xa5/d4+b(a/d)4+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b=[xa5+(ba4+dba3+d2ba2+d3ba+d4b)]/d4根據(jù)等比數(shù)例遞推公式并加以整理后有：y={xan+{an-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}b}/dn-1={xan+[a(n-1[1-(d/a)n]ba/c}/d(n-1)={xan+[a(n-1)-（a(n-1)dn/an)]ad/c}/d(n-1)=[xan+(an-dn)b/c]/d(n-1)=[(xan+anb/c)-dnb/c]/d(n-1)=(xan+anb/

6、c)/d(n-1)-db/cy=an(x+b/c)/d(n-1)-db/c上式中的a(a/d)^(n-1)部分,若出現(xiàn)(a/d)有公約數(shù)時不得約分，否則a和d原有的定義就不存在了，同時也無法解題。故上式應進一步寫成：y=an[(x+b/c)/d(n-1)]-db/c從上式可看出：若b/c不為自然數(shù)時，則(x+b/c)/d^(n-1)不為整數(shù),故下式通解公式此時也無解；若b/c為自然數(shù),則(x+b/c)d^(n-1)必可取得最小自然數(shù)1,或1的任意整倍數(shù)。通常在計算時，為了簡單,一般取最小自然數(shù)1,則上述方程的演算和推導最后可寫

7、成下述簡易通解公式：y=an-db/c現(xiàn)在用上述“通解公式”來求解,本人在今年四月份的博客中(博客地址http://blog.sina.com.cn/u/2705935891)，12日、15日和16日所出的三道此種類型題目例一,在《九猴分桃》中：a=9,n=7,b=8,d=7,c=2根據(jù)上述“通解公式”有：y=97－8×7/2=4782969－28=4782941，（這也是第1個猴子看到的桃子數(shù)量）下面接著驗算：第2個猴子看到的桃子數(shù)量為：4782941－8÷9×7=3720059，第3個猴子看到的桃子數(shù)量為：3720059－

8、8÷9×7=2893373，第4個猴子看到的桃子數(shù)量為：2893373－8÷9×7=2250395，同樣有，第5個猴子看到的桃子數(shù)量為：1750301，第6個猴子看到的桃子數(shù)量為：1361339，第7個猴子看到的桃子數(shù)量為：1058813，又如,《十六水手分椰子》中a=16,