信號(hào)流圖與梅森公式

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1、2.5信號(hào)流圖與梅森公式2.5.1信號(hào)流圖信號(hào)流圖是表示復(fù)雜的又一種圖示方法.信號(hào)流圖相對(duì)于結(jié)構(gòu)圖更簡便明了,而且不必對(duì)圖形進(jìn)行簡化,只要根據(jù)統(tǒng)一的公式,就能方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù).1.信號(hào)流圖的組成及基本性質(zhì)信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成.一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)中的一個(gè)變量,用小圓圈”Ο”表示;連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有箭頭的定向線段為支路.支路相當(dāng)于信號(hào)乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信號(hào)只能沿箭頭單方向傳遞,經(jīng)支路傳遞的信號(hào)應(yīng)乘以乘法因子;只有輸出支路,無輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn),代表系統(tǒng)的輸入變量;只有輸入支路,無輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn),代表系統(tǒng)的輸

2、出變量;既有輸入支路,也有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn).信號(hào)流圖的特征描述還需要以下專用術(shù)語:前向通路信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí),對(duì)任何節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路稱為前向通路.而前向通路上各支路增益之積,為前向通路總增益.回路如果信號(hào)傳遞通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)上,且通過任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱為單獨(dú)回路,簡稱回路.回路中各支爐增益的乘積稱為回路增益.不接觸回路兩個(gè)或兩個(gè)以上回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn),此種回路稱為不接觸回路.由圖2-31的信號(hào)流圖可以說明以上的基本元素,即是節(jié)點(diǎn)；為支路增益；為輸入節(jié)點(diǎn)；為輸入節(jié)點(diǎn)；為混合節(jié)點(diǎn)。信號(hào)流圖共有三條前向通

3、道，第一條是；第二條是；第三條是。有兩個(gè)單獨(dú)回路，一個(gè)是，起點(diǎn)和終點(diǎn)是；另一個(gè)起點(diǎn)、終點(diǎn)在的自回路。而且這兩個(gè)回路無公共節(jié)點(diǎn)，是不接觸回路。圖2-31信號(hào)流圖注意：對(duì)于確定的控制系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的。2.5.2信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖可以根據(jù)系統(tǒng)方框圖的繪制，也可以根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式繪制。1．根據(jù)系統(tǒng)方框圖繪制將方框圖中比較點(diǎn)和引出點(diǎn)分別作為信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)，方框圖中的方框變?yōu)樾盘?hào)流圖中標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段，便得到支路。從系統(tǒng)方框圖繪制信號(hào)流圖是時(shí)應(yīng)盡量精簡節(jié)點(diǎn)數(shù)目。若在方框圖的比較點(diǎn)之前沒有引出點(diǎn)，但在比較點(diǎn)之后有引出點(diǎn)時(shí)，只需在比較點(diǎn)之后設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)即可，

4、如圖2-32（a）所示；若方框圖的比較點(diǎn)之前有引出點(diǎn)，就需要在比較點(diǎn)和引出點(diǎn)處各設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示兩個(gè)變量，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益是1，如圖2-32(b)所示。圖2-32比較點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-33所示，其對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖2-34所示。圖2-33比較點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系圖2-34系統(tǒng)信號(hào)流圖1．根據(jù)系統(tǒng)方程繪制信號(hào)流圖某線形系統(tǒng)由下方程組描述根據(jù)系統(tǒng)（2-55），首先確定接點(diǎn)，然后繪制式（2-55）中各方程信號(hào)流圖，如圖2-35（a）,(b),(c),所示；最后將各個(gè)圖連接起來，即得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖，如圖2-35（d）所示。為輸入變量，為輸出變量

5、。圖2-35系統(tǒng)信號(hào)流圖如果采用克萊姆法則求解，將輸入變量留到方程右側(cè)，其余移到方程左邊經(jīng)整理式（2-55）變?yōu)樯鲜龇匠探M的系數(shù)行列式為則有從上式求解過程可知，系數(shù)行列式與信號(hào)流圖之間有一種巧妙的關(guān)系，首先作為傳遞函數(shù)分母的系數(shù)行列式，其中的兩項(xiàng)恰巧與信號(hào)流圖中的兩各回路增益之和相對(duì)應(yīng)，即。其次，作為傳遞函數(shù)分子系數(shù)行列式的系數(shù)，其中的兩項(xiàng)恰好與信號(hào)流圖中的兩個(gè)前向通道總增益之和相對(duì)應(yīng)，即。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，為我們直接從信號(hào)流圖采用觀察的方法，求區(qū)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)提供了一般規(guī)律，這就是梅森公式的基本指導(dǎo)思想。2.5.3梅森公式由信號(hào)流圖可以得到任意輸入接點(diǎn)之間的

6、傳遞函數(shù)，即任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的總增益。任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間傳遞函數(shù)的梅森增益公式為式中：P為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的總增益（或傳遞函數(shù)）；n為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道條數(shù)；為系統(tǒng)特征式，其中為系統(tǒng)流圖中所有單獨(dú)回路的增益之和；為所有兩個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和；為所有三個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和；為第k條的前向通道增益；為第k條前向通道的余因子，即在信號(hào)流圖中，把與第k條前向通道相接觸的回路除去以后的值。例2-11如圖2-36所示信號(hào)流圖，求輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)。圖2-36例2-11的系統(tǒng)信號(hào)流圖解根據(jù)梅森增益公式，從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)

7、之間，只有一條前向通道，其增益為有三個(gè)單獨(dú)回路，即，，其回路之和為這三個(gè)回路都有公共點(diǎn)，所以不存在互不接觸電路。于是特征式為因?yàn)檫@三個(gè)回路都和前向通道接觸，所以其余因子式，最后得到輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的總增益P即系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例2-12求圖2-37所示信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)。圖2-37例2-12的系統(tǒng)信號(hào)流圖解由圖2-37知，系統(tǒng)有4個(gè)單獨(dú)回路，分別為其回路之和為只有與回路互不接觸，所以兩兩互不接觸回路增益乘積為于是特征式為有兩個(gè)前向通道，分別為，第一條前向通道與所有回路都接觸，第二條前向通道與回路不接觸，因此系統(tǒng)的總增益即傳遞函數(shù)為例2-13如圖2-38所示為

8、一個(gè)交叉反饋系統(tǒng)，求其開環(huán)傳遞函數(shù)。圖2-38例2-13的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)