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《第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第三十講數(shù)列求和及數(shù)列實際問題一、復習目標要求1．探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法；2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關系，并能用有關等差、等比數(shù)列知識解決相應的實際問題。二、知識精點講解1．數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an=。（2）求通項常用方法①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和①重要公式：1+2+…+n=n(n+
2、1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。⑤錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)
3、列對應項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。,其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，記，則，…⑥并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。⑦通項分解法：2．遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關系。由遞歸關系及k第10頁（共10頁）___________________________________________________________個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸
4、數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。三．典例解析題型1：裂項求和例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。解析：首先考慮，則=。點評：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法。例2．求。解析：，點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜的因
5、式轉化的簡單一些。題型2：錯位相減法例3．設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。解析：①若a=0時，Sn=0；②若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0時，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=。例4．已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。第10頁（共10頁）___________________________________________________________解析：，①-②得：，點評：設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列
6、是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。題型3：倒序相加例5．求。解析：。①又。②所以。點評：Sn表示從第一項依次到第n項的和，然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。例6．設數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列，求和：解析：因為，，。點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。題型4：其他方法例7．求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項和。解析：本題實質是求一個奇數(shù)列的和。在該
7、數(shù)列的前n項中共有個奇數(shù)，故第10頁（共10頁）___________________________________________________________。例8．求數(shù)列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項的和。解析：其和為(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。題型5：數(shù)列綜合問題例9．（2006年浙江卷）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列
8、xn
9、（xn>0）的第一項x1＝1，以后各項按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經過（0，0）和（xn，f（xn））兩點的直線平行（如圖）。求證
10、：當n時：（I）；（II）。解析：（I）因為所以曲線在處的切線斜率因為過和兩點的直線斜率是所以.（II）因為函數(shù)當時單調遞增，而所以，即因此又因為令則因為所以因此故點評：數(shù)列與解析幾何問題結合在一塊，數(shù)列的通項與線段的長度、點的坐標建立起聯(lián)系。第10頁（共10頁）___________________________________________________________例10．（2006年
