四、拉蓋爾多項(xiàng)式

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1、拉蓋爾多項(xiàng)式常微分方程（0＜x＜∞＝＝）（1）叫作拉蓋爾方程．是拉蓋爾方程的正則奇點(diǎn)．在及其鄰域上為有限的級(jí)數(shù)解是+.（2）級(jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)限大．如λ為整數(shù)，解y（x）退化為λ次多項(xiàng)式.用適當(dāng)?shù)某?shù)乘這些多項(xiàng)式，使最高次冪項(xiàng)成為就叫作拉蓋爾多項(xiàng)式，記作.于λ=0，有λ=1，λ=2，λ=3，λ=4，λ=5，函數(shù)在的鄰域上是解析的，可在的鄰域上展為泰勒級(jí)數(shù)（3）現(xiàn)在來(lái)證明（3）式里的正是拉蓋爾多項(xiàng)式.既然（3）式里的是Ψ（t，x）的泰勒展開(kāi)的系數(shù)，那就有.上式利用了§2.4習(xí)題2.我們只需證明（4）式正是拉蓋爾多項(xiàng)式就行了．令，容易驗(yàn)證，z滿足.上式對(duì)x求導(dǎo)

2、n+1次，這就是說(shuō)，滿足.參照（4）式，作函數(shù)變換，得L（x）所滿足的方程，這正是拉蓋爾方程（1）.拉蓋爾方程的多項(xiàng)式解只能是拉蓋爾多項(xiàng)式，最多相差某個(gè)常數(shù)因子.經(jīng)具體驗(yàn)算，得知并不差常因子．（3）和（4）里的的確是拉蓋爾多項(xiàng)式.函數(shù)因而稱為拉蓋爾多項(xiàng)式的母函數(shù).而（4）式是拉蓋爾多項(xiàng)式的微分表示式．拉蓋爾方程（1）可改寫為施圖姆-劉維爾型（0＜x＜∞＝＝）（5）作為施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題的正交性關(guān)系的特例，拉蓋爾多項(xiàng)式在區(qū)間0＜x＜∞上帶權(quán)重正交，（m≠n）（6）拉蓋爾多項(xiàng)式的?？山柚⒎直硎臼剑?）并累次分部積分而算得，=（7）根據(jù)施圖姆-劉維爾本征

3、值問(wèn)題的性質(zhì)④（見(jiàn)§9.4），在區(qū)間0＜x＜∞上，以接蓋爾多項(xiàng)式為基本函數(shù)族，可把函數(shù)f（x）展開(kāi)為，（8）