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《數(shù)值分析論文(14)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、Newton迭代法及其應(yīng)用摘要：本文研究應(yīng)用泰勒展開式構(gòu)造出Newton迭代法，論證了它的局部收斂性和收斂階。分別討論了單根情形和重根情形，給出了實(shí)例應(yīng)用。最后給出了離散Newton法(割線法)的具體做法。關(guān)鍵詞：泰勒展開式，Newton迭代法及其收斂性，重根，離散Newton法(割線法)。Newton迭代法1.Newton法及其收斂性 求方程f（x）=0的根，如果已知它的一個(gè)近似,可利用Taylor展開式求出f(x)在附近的線性近似，即 ，ξ在x與之間忽略余項(xiàng)，則得方程的近似右端為x的線性方程，若，則解,記作,它可作為的解的新近似，即 (2.4.1)
2、稱為解方程的Newton法.在幾何上求方程的解，即求曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn).若已知的一個(gè)近似,通過點(diǎn)(，f())作曲線y=f(x)的切線，它與x軸交點(diǎn)為,作為的新近似，如圖1所示關(guān)于Newton法收斂性有以下的局部收斂定理. 定理1設(shè)是f(x)=0的一個(gè)根，f(x)在附近二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，則Newton法(2.4.1)具有二階收斂，且 (2.4.2) 證明由式(2.4.1)知迭代函數(shù),，,而，由定理可知，Newton迭代(2.4.1)具有二階收斂，由式可得到式(2.4.2).證畢. 定理表明Newton法收斂很快，但在附近時(shí)才能保證迭代序
3、列收斂.有關(guān)Newton法半局部收斂性與全局收斂定理.此處不再討論.例1用Newton法求方程的根.解,Newton迭代為 取即為根的近似，它表明Newton法收斂很快. 例2設(shè)＞0，求平方根的過程可化為解方程.若用Newton法求解，由式(2.4.1)得 (2.4.3)這是在計(jì)算機(jī)上作開方運(yùn)算的一個(gè)實(shí)際有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，計(jì)算量少，又收斂很快，對Newton法我們已證明了它的局部收斂性，對式(2.4.3)可證明對任何迭代法都是收斂的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)有 即,而對任意，也可驗(yàn)證,即從k=1開始，且 所以｛｝從
4、k=1起是一個(gè)單調(diào)遞減有下界的序列，｛｝有極限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，這就說明了只要，迭代(2.4.3)總收斂到,且是二階收斂. 在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732051,具有7位有效數(shù)字.求非線性方程f(x)=0的根x*,幾何上就是求曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)x*，若已知曲線上一點(diǎn)過此點(diǎn)作它的切線。方程為此切線與x軸交點(diǎn)記作，它就是(2,4,1)給出的Newtor迭代法，由圖2-3看到Newton法求根就是用切線近似曲線，切線與x軸交點(diǎn)xk+1作為方程f(x)=0根x*的新近似?！ 「鶕?jù)定理2.3可以證明Newt
5、on法是二階收斂的，這就是定理4.1給出的結(jié)果，Newton法由于收斂快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在計(jì)算機(jī)上用Newton法解方程的計(jì)算步驟： 算法如下：（Newton法） 步0：給初始近似,計(jì)算精度最大迭代步數(shù)N,0→k. 步1：計(jì)算f(x)→f,若，轉(zhuǎn)步4，否則做 步2：計(jì)算，若y=0,轉(zhuǎn)步4，否則步3：若，步4，否則，若，轉(zhuǎn)步4，否則轉(zhuǎn)步1 步4：打印x,f,y,k計(jì)算停止。此算法給出了4個(gè)停止準(zhǔn)則，保證計(jì)算在有限步結(jié)束，其中y=0及均屬非正常結(jié)束，，說明用Newton法求根得不到結(jié)果，步2中y=0實(shí)際使用時(shí)可改為（可?。?。計(jì)算例子見例2.6及
6、例2.7，例2.7得到的計(jì)算的Newton法程序（2.4.3）是計(jì)算機(jī)中計(jì)算開方的最有效算法，它對任意初值都能使序列收斂于，且為平方收斂，一般只要迭代3－5次就可達(dá)到7－9位有效數(shù)字，因此計(jì)算量很省。2.重根情形 當(dāng),則為方程(2.1.1)的重根，此時(shí),Newton法的迭代函數(shù),，故Newton法仍收斂，但只是線性收斂.若迭代函數(shù)改為，則，故迭代法 (2.4.5)具有二階收斂. 對重根還可構(gòu)造另一種迭代法，令若是的m重根，則 所以是的單根，對它用Newton法，迭代函數(shù)為 從而可構(gòu)造迭代法 (2.4.6)它也是二階收斂的. 例3方程的根是
7、二重根，試用Newton法及(2.4.5)、(2.4.6)三種迭代法各計(jì)算3步. 解 方法(1)：Newton迭代， 方法(2)：迭代法(2.4.5)， 方法(3)：迭代法(2.4.6)，三種方法均取=1.5計(jì)算結(jié)果如下：?方法（1）方法（2）方法（3）1.4583333331.4366071431.4254976191.4166666671.4142156861.4142135621.4117647061.4142114381.414213562 方法(2)與方法(3)均達(dá)到精確度，而方法(1)只有線性收斂，要達(dá)到相同精度需迭
