淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用一、前言部分微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解.后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論.微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支.總之，力學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問題都導(dǎo)致微分方程.在當(dāng)代，甚至許多社會(huì)科學(xué)的

2、問題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是與人類社會(huì)密切相關(guān)的.[1]“常微分方程”是理學(xué)院數(shù)學(xué)系所有專業(yè)學(xué)生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一，也是工科、經(jīng)濟(jì)等專業(yè)必學(xué)內(nèi)容之一.其重要性在于它是各種精確自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)中表述基本定律和各種問題的根本工具之一，換句話說，只要根據(jù)實(shí)際背景，列出了相應(yīng)的微分方程，并且能（數(shù)值地或定性地）求出這種方程的解，人們就可以預(yù)見到，在已知條件下這種或那種“運(yùn)動(dòng)”過程將怎樣進(jìn)行，或者為了實(shí)現(xiàn)人們所希望的某種“運(yùn)動(dòng)”應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)必要的裝置和條件等等.例如，我們要設(shè)計(jì)人造衛(wèi)星軌道，首先，根據(jù)力學(xué)原理，建立衛(wèi)星

3、運(yùn)動(dòng)的微分方程，列出初始條件，然后求出解，即衛(wèi)星運(yùn)行軌道.隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛.[2]從數(shù)學(xué)自身的角度看，微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展.從這個(gè)角度說，微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心.[3]總之，微分方程從它誕生起即日益成為人類認(rèn)識(shí)并進(jìn)而改造自然、社會(huì)的有力工具，成為數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一.文章就常微分的數(shù)值解法以及應(yīng)用展開簡(jiǎn)單的論述。二、主體部分2.1微分方程概念介紹2.1.1微分方程概況由一元函數(shù)得到的方程.即：稱含有自變量，未知函數(shù)

4、及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.（1）為常微分方程.其中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階.例如??，?，是一階常微分方程.是二階常微分方程.設(shè)定義于區(qū)間上，有直到階的導(dǎo)數(shù)，將它代入（1），使（1）變成關(guān)于的恒等式，即.就稱＝為（1）的一個(gè)定義于上的解，并稱為該解的定義區(qū)間.[4]如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程產(chǎn)生的歷史背景微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立

5、微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.[5]牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律.后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)

6、尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量.微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支.總之，力學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問題都導(dǎo)致微分方程.在當(dāng)代，甚至許多社會(huì)科學(xué)的問題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是與人類社會(huì)密切相關(guān)的.[6]2.3微分方程發(fā)展現(xiàn)狀及其基本功能在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進(jìn)一步發(fā)展的需要，有推動(dòng)著其它

7、數(shù)學(xué)分支的發(fā)展；相反，微分方程每一步進(jìn)展都離不開其他數(shù)學(xué)分支的支援.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.時(shí)至今日，可以說微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等.只要能夠列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律.從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預(yù)

8、見各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效.[7]2.4常微分方程的數(shù)值求解方法2.