高階線性常微分方程的解法和應(yīng)用【文獻綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計文獻綜述數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學高階線性常微分方程的解法和應(yīng)用常微分方程是17世紀伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而成長起來的一門具有重要應(yīng)用價值而且歷史悠久的學科.從誕生之日起很快就顯示出它在應(yīng)用上的重要作用.特別是作為Newton力學的得力助手,在天體力學和其他力學領(lǐng)域顯示出巨大的功能.提及微分方程的技術(shù)的時候,常常不由使人想起牛頓,在歷史上,牛頓正是通過求解常微分方程證實了地球繞太陽運動的軌道是橢圓,從理論上得到了行星運動的規(guī)律.1687年,牛頓發(fā)表《自然哲學的數(shù)學原理》,在該書中,牛頓不僅向全世界揭示了主宰冥冥宇宙的萬有引力機制,同時也公布了他為

2、創(chuàng)建自己的動力學體系而發(fā)明的流數(shù)術(shù)與反流數(shù)術(shù),即后來所謂的微分法和積分法.微分方程的理論和方法從17世紀末開始發(fā)展起來后,很快成了研究自然現(xiàn)象的強有力的工具.在17~18世紀,在力學、天文、物理和科學技術(shù)中,就已經(jīng)借助微分方程取得巨大的成就.質(zhì)點動力學和剛體動力學的問題很容易化為微分方程的求解問題.1864年天文學家ULeVerrier和JAdams先通過微分方程的方法推算然后實際觀測預見到了海王星的存在并確定出了海王星在天空中的位置,這些使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量.從19世紀下半葉開始,隨著微積分學的公理化與嚴

3、密化,微分方程逐漸從微積分中獨立分立出來,形成自己系統(tǒng)而嚴密的理論體系,發(fā)展成為常微分方程和偏微分方程兩大現(xiàn)代數(shù)學分支.隨著科學技術(shù)的發(fā)展和社會的進步,常微分方程的應(yīng)用不斷擴大和深入.時至今日,可以說常微分方程在所有自然科學領(lǐng)域和眾多社會科學領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.微分方程的首要問題是如何求一個給定方程的通解.求解微分方程中的高階線性常微分方程也是學習微分方程的重點,到目前為止,人們已經(jīng)對好多高階微分方程得出了對應(yīng)求解的一般方法.例如高階階微分方程中的常數(shù)變易法、比較系數(shù)法、算子法和拉普拉斯變換法等.在數(shù)學學科內(nèi)部的許多分支中,常微分也是常有的重

4、要工具之一,也是整個數(shù)學課程體系中的重要組成部分,常微分方程每一步進展都離不開其他數(shù)學分支的支援,例如,復變函數(shù)、Lie群、組合拓補學等;反過來,常微分方程進一步發(fā)展的需要,也推動著其他數(shù)學分支的發(fā)展.現(xiàn)在,常微分方程在很多科學領(lǐng)域內(nèi)都有著重要的應(yīng)用,自動控制、各種電子學裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問題.應(yīng)該說,應(yīng)用常微分方程的理論已經(jīng)取得了很大的成就,但是,它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要,還有待于進一步的發(fā)展,使這門課更加完善,因

5、此,對常微分方程的研究不僅具有實際意義,還有理論方面的.對于我們數(shù)學專業(yè)的學生來說,常微分方程是一門應(yīng)用性較強的基礎(chǔ)課,對訓練學生的數(shù)學思維、應(yīng)用意識和分析與解決實際問題能力有著極為重要的作用.本文所講的微分方程主要是高階線性常微分方程,因為方程的求解是學習常微分方程的基礎(chǔ),在學習常微分方程理論時,總是對不同類型的方程給出不同的解法.能否有一種普遍的方法能解各種類型的微分方程呢?著名的美國數(shù)學史家M.克萊因在所著的《古今數(shù)學思想》中寫道:“總的說來,這門學科還是各種類型的孤立技巧的匯編”,然而尋求普遍解法的努力從十八世紀就一直沒有停止過.但到目

6、前為止,對于一般的高階高階微分方程,還沒找到普遍的、通用的具體解法,這樣,只能根據(jù)具體問題進行具體分析.所以本文主要介紹常微分方程中一類重要的方程—高階線性常微分方程,文章首先簡單介紹了高階微分方程的一般概念:一般地,我們將未知函數(shù)及其各階導數(shù),均為一次的階微分方程稱為階線性微分方程.它的一般形式是(1)式中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).如果,則方程(1)變?yōu)?2)我們稱(2)為階線性齊次微分方程,簡稱齊線性方程.而與此相應(yīng),稱(1)為階線性非齊次微分方程,簡稱非齊線性方程,并且通常把方程(2)叫做對應(yīng)于方程(1)的齊線性方程.若,稱(1)或(2)為

7、高階線性常微分方程.接著簡要說明了下這個方程的解式存在且唯一的,為下文研究并且介紹它的各種解法問題,做好理論知識的預備與鋪墊.最后文章介紹了下有些高階線性常微分方程在實際中的應(yīng)用.所以,總的來說,文章主要討論了高階線性常微分方程的相關(guān)解法和應(yīng)用.本文主要從三方面入手,首先給出高階線性常微分方程的有關(guān)概念及解的存在惟一性.在此基礎(chǔ)上,探討了各種不同類型的高階常微分方程的解法的問題.討論的主要類型有:某些特殊類型的高階線性常微分方程、常系數(shù)高階線性常微分方程、變系數(shù)高階線性常微分方程.在解決這些類型的高階線性常微分方程時,還沒找到普遍的、通用的具體

8、解法,這樣,文章針對具體問題進行了具體的分析.另外,我還介紹了一些新的解法:運用高階線性微分方程與一階微分方程組的關(guān)系求解、參數(shù)的方法、升階的方法和計