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《一類非線性二階常微分方程邊值問題有效解法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、摘要本文主要分為兩個部分，首先證明了非線性常微分方程初值問題Ｊ∥（ｚ）＝，（茁ｍ可，），８≤ｚ≤ｂｌ”（ｎ）＝＆，Ⅳ協(xié)）：ｍ在滿足（１），及籌，券在區(qū)域Ｑ＝｛（ｚ，Ｙ，Ｙ’）ｌａ≤ｚ≤ｂ，一００＜Ｙ，Ｙ７＜。。｝內(nèi)連續(xù)（３）存在常數(shù)Ｍ，使得ｏ＜！且詈產(chǎn)≤Ｍ，Ｖ（ｘ，Ｙ，Ｙ’）∈Ｑ時是關于ｍ嚴格單調(diào)增加的，弗且在此基礎上，有效地運用二分法對于滿足上述條件的非線性常微分方程邊值問題Ｊｆ∥（ｚ）＝，（置ｙ，３，），?！埽埽猓欤纾?。）＝ａ，可（６）＝盧進行求解。在論文的第二部分，介紹了在ＥＸＣＥＬ界面下對微分方程的求解方法。關鍵
2、詞：邊值問題，試射法，二分法，ＥＸＣＥＬ２（２）掣＞０，ｖ（ｘ，Ｙ，Ｙ’）∈ＱＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｏｒｄｉｎａｒｙｅｑｕａｔｉｏｆｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｌ∥”（ｚ）＝：，（ｚ，Ｙ，Ⅳ‘），ｌｇ沁）＝ｎ，ｙｌ（ｏ）＝“ｗｈｉｃｈｓａｔｉｓｆｙｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ：ｏｓｚ莖ｂ（１）ｆａ
3、ｎｄ籍．ａ。＠，ａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｏｎｔｈｅｓｅｔｎ＝｛（。，Ⅳ，Ｙ’）『口≤?！埽?，一。。＜Ｙ，Ｙ７＜ｏｏ｝（３）ａｃ矗ｓｔａｎｔＭｅｘｉｓｔｓ，ｗｉｔｈｔｈｅｎｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｓｔｒｉｃｔｌｙｍｏｎｏｔｏｎｅｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｉｎｔｈｅｖａｒｉａｂｌｅｍ，Ａｎｄｂａｓｉｓｔｈｉｓｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅｃａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙＵＳｅｔｈｅｄｉｃｈｏｔｏｍｙｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｂｏｕＭａｒｙ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｏｒｄｉｎ
4、ａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎＩ９”（。）＝，（ｚ，Ⅳ，ｙ’），ⅡｓｚｓｂＩ可（Ⅱ）二。，可（ｂ）＝蘆ｗｈｉｃｈｓａｔｉ８矗ｅｄｔｈｅａｂｏｖｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓＩｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔ．ｗｅｐｒｏｄｕｃｅｔｈｅｍｅｔｈｏｄｈｏｗｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａＩｅｑｕａｔｉｏｎ．ｔｏｕｅｓＥＸＣＥＬｔｏｓｏｌｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，Ｂｏｕｎｄａｒｙ—Ｖａｌｕｅ３ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｄｉｃｈｏｔｏｍｙｍｅｔｈｏｄ，ＥＸＣＥ（２）牮＞ｏ，ｆｏｒａｌｌ（ｘｍＹ’）０＜！叢；筍≤Ｍ，，∞
5、。ｌｌ（ｘ，Ⅳ，ｇ’）∈Ｑ∈Ｑ１引言常微分方程邊值問題在應用科學與工程計算中是經(jīng)常遇到的，由于邊值問題的存在唯一性遠比初值問題復雜，因此求解邊值問題無論從理論上還是數(shù)值解法上都比初值問題困難，目前采用的數(shù)值解法大多是將邊值問題轉(zhuǎn)換為初值問題進行求解，例如試射法（也叫打靶法）、連續(xù)法和不變嵌入法等等。我們主要針對打靶法來討論求解二階常微分方程邊值問題的有效方法。給定二階方程的兩點邊值問題：｛掣”（ｚ）＝，（。，可，可’），【可（ｎ）＝Ｏｌ，ｙ（ｂ）＝ｐ將問題（１）轉(zhuǎn)化為初值問題：口≤?！埽?（１）｛Ⅳ”（ｚ）＝，＠，Ｙ，Ｙ’）
6、，。曼ｚｉ可（ｏ）＝ａ，Ⅳ’（ｎ）＝ｍｓ６（２）記初值問題（２）的解為Ⅳ（ｚ）＝可（石，ｍ），它當然是與對Ｙ７（。）的初值ｍ的選擇有關的。如果在另～端點ｚ＝６處，ｙ（ｂ）＝Ｆ（ｂ，ｍ）＝盧或者ｙ（ｂ，仇）一盧以殘差形式表示，ＲＰ］Ｊｙ（ｂ，ｍ）一剛＜Ｅ，則可認為ｖ（ｘ）＝Ⅳ（ｚ，ｍ）是方程（１）的解。口】以看出，試射法的關鍵就是對初值ｍ的選擇。文【１］給出了二階常微分方程邊值問題解的存在唯一性定理：引理【１】＝設方程（１）中的函數(shù)，及苗，等在區(qū)域Ｑ＝“霉，Ｙ，Ｙ’）Ｉ。≤ｚ≤６，一ｏ。＜Ｙ，Ｙ’＜ｏ。）內(nèi)連續(xù)，并且（ｉ）堡
7、掣＞ｏ，ｖ（￡，ｇ，可，）∈Ｑ（越）籌在Ｑ內(nèi)有界，即存在常數(shù)Ｍ，使得Ｉ駕學Ｉ姒Ｖ∽舢，）∈ｎ。ｄ＂則邊值問題（１）的解存在且唯一。特別地，當．廠（。，Ｙ，ｙ／）為線性函數(shù)，即問題（１）為二階線性常微分方程邊值問題時，文『２］指出，上述引理可變?yōu)椋阂怼喝艟€性邊值問題｛ｌ可ｇ（癌）＝。，ｙ（ｂ）＝盧茁（＋７可）（＝ｚ（”）ｐｚｑ）可＿｜二ｒ（石），?！埽担?３滿足（ｉ）ｐ（ｘ），ｑ（ｚ）和ｒ（ｚ）在［ｏ，６】上連：（ｉｉ）ｑ（ｘ）＞０，對Ｖｘ∈［ａ，６］。則邊值問題（３）的解存在且唯～。由于非齊次問題的解可以表示為對應齊次問
8、題的通解和它的一個特解的和［３】，文［２Ｊ指出，對于二階線性邊值問題（３）的解可以用下面非齊次線性初值問題（４）的解與齊次線性初值問題（５）的解來表示。？‘？’。ｓ。≤６（４）：‘？’＝ｐ（ｚ？可Ⅱｓｚ≤６（５）設Ⅳ?（ｚ）是非齊次線性初值問題（４）的解
