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1、MATLAB求解PDE問題（1）——概述、例子(轉(zhuǎn))(2011-07-2016:48:45)MATLABPDEToolbox提供利用有限元方法求解偏微分方程的GUI以及相應(yīng)的命令行函數(shù)。利用該工具箱可以求解橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程、特征值方程以及非線性方程。PDEToolbox的功能非常強(qiáng)大，網(wǎng)上有許多利用PDEToolbox解決各種物理問題的論文，還有專門介紹工具箱的參考書。網(wǎng)上的例子雖然很多，但是大部分是介紹PDE工具箱自帶的一些例子，這些例子中解的區(qū)域，邊界條件是PDE工具箱已經(jīng)編寫好的，直接調(diào)用就可以。對(duì)于該如何自己設(shè)定求解區(qū)域及邊
2、界條件，卻很少有人涉及。網(wǎng)上搜索發(fā)現(xiàn)只有劉平在博客中詳細(xì)介紹過求解區(qū)域的設(shè)定。下面以一個(gè)橢圓型方程的例子來(lái)詳細(xì)說(shuō)明求解的各個(gè)步驟，希望對(duì)大家能有所幫助。設(shè)要求如下形式的橢圓方程的解：按照PDE的要求，將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式求解后的圖像如下，第一幅圖是解的圖像，第二幅是計(jì)算誤差。從第二幅圖可以看到，計(jì)算的最大誤差是10-3方量級(jí)。通過這個(gè)例子我們可以基本掌握PDE求解偏微分方程的步驟和方法，后面我將詳細(xì)介紹如何設(shè)置區(qū)域及邊界條件。掌握了區(qū)域和邊界條件的設(shè)定，就可以輕松求解遇到的偏微分方程了。圖后是附帶的matlab命令以及注釋，并提供m文件附件下載，下載后
3、解壓即可。希望能對(duì)大家有所幫助。下面是編寫的求解上述方程的matlab語(yǔ)句及說(shuō)明：g='mygeom';b='mybound';定義區(qū)域，邊界條件。mygeom是定義區(qū)域的子函數(shù)名，函數(shù)名可根據(jù)自己的需要取定，區(qū)域的確定規(guī)則由pdegeom函數(shù)說(shuō)明，注意pdegeom函數(shù)只是說(shuō)明如何定義區(qū)域，它并不直接確定區(qū)域；mybound是定義邊界條件的子函數(shù)名，與區(qū)域類似，邊界的確定規(guī)則由函數(shù)pdebound確定。后面我會(huì)詳細(xì)介紹區(qū)域和邊界的取法。[p,e,t]=initmesh(g);網(wǎng)格初始化，此處也可以寫成[p,e,t]=initmesh('mygeom
4、');這樣可以省略上面的語(yǔ)句[p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);[p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);加密網(wǎng)格兩次，需要加密幾次重復(fù)幾次即可，根據(jù)具體問題確定加密次數(shù)U=assempde(b,p,e,t,1,0,'2*(x+y)-4');調(diào)用assempde函數(shù)計(jì)算方程的數(shù)值解，assempde函數(shù)的詳細(xì)用法可以參考MATH網(wǎng)站或者PDE的使用指南。常用的用法是[u,res]=assempde(b,p,e,t,c,a,f)，其中b為邊界條件，此處也可以寫為'mybound'，p,e,t，為網(wǎng)格參數(shù)，c,a,f，為
5、方程的參數(shù)，后面也可以加猜測(cè)值以及各種屬性。pdesurf(p,t,U)gridon;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u')colorbarview([6030])畫出解的圖形。注意，為了讓結(jié)果更直觀一些，使用view函數(shù)調(diào)整了視點(diǎn)位置。大家可以自行調(diào)整視角，滿意即可。exact=p(1,:).^2+p(2,:).^2-p(1,:).*p(2,:).*(p(1,:)+p(2,:));exact=exact';figurepdesurf(p,t,U-exact)gridonxlabel('x');ylabel('y');
6、zlabel('error')colorbarview([6030])由于方程有解析解，我們可以比較數(shù)值計(jì)算的誤差。如果能求得解析解，我們也不會(huì)設(shè)計(jì)各種方法求數(shù)值解了，因此，這一步在大多數(shù)情況下是用不上的，這里只是為了比較計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證計(jì)算的精度。MATLAB求解PDE問題（2）——確定幾何區(qū)域(2012-06-1416:20:38)前一篇介紹了如何利用Matlab求解橢圓型方程，下面介紹如何確定求解的幾何區(qū)域。PDEToolbox中規(guī)定幾何區(qū)域的m文件是pdegeom.m。但是pdegeom并不是一個(gè)可以調(diào)用的函數(shù)，它只是規(guī)定了應(yīng)該何如定義區(qū)域，具
7、體的區(qū)域則要根據(jù)研究的問題來(lái)決定。函數(shù)pdegeom釋義如下：參數(shù)為0個(gè)時(shí)，即沒有參數(shù)時(shí)，返回邊界的段數(shù)；參數(shù)為1個(gè)時(shí)，即只有bs，返回輸出區(qū)域邊界的參變量范圍矩陣d；參數(shù)為2個(gè)時(shí)，返回每段邊界長(zhǎng)度為s時(shí)的坐標(biāo)。函數(shù)參數(shù)意義bs表示指定的邊緣線段，如矩形邊界為四段，三角開邊界肯定為三段…。s為第bs段線段弧長(zhǎng)的近似（估計(jì)）值，bs與s可以為向量，但是要一一對(duì)應(yīng)，即bs為幾個(gè)值，s也得為幾個(gè)值。輸出變量[x,y]是每條線段起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。這個(gè)函數(shù)編制的關(guān)鍵是，函數(shù)內(nèi)邊界上的坐標(biāo)((x(t),y(t))是用參變量t表示的，返回值是求得邊界任意長(zhǎng)度
8、時(shí)的坐標(biāo)（x(t),y(t)）值，參量可以有很多種選法。回到前一篇中，給定的方程的求解區(qū)域是[0,1,0,1
