冪零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用

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1、冪零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用數(shù)本041嚴(yán)益水學(xué)號(hào)：410401109摘要：冪零矩陣是一類特殊的矩陣，在矩陣?yán)碚撝杏兄匾淖饔?。它具有一些很好的性質(zhì)。本文從矩陣的不同角度討論了冪零矩陣的相關(guān)性質(zhì)。冪零矩陣與若當(dāng)形矩陣結(jié)合可得一個(gè)很好性質(zhì)，在解相關(guān)矩陣問題有很好作用，由此我們舉例說明，從例子中發(fā)現(xiàn)了問題并對此問題進(jìn)行思考得出了一些結(jié)論，對冪零矩陣的研究很有意義。在一般矩陣中，求矩陣的逆比較麻煩，本文最后利用冪零矩陣特殊性討論了三類特殊矩陣逆的求法。關(guān)鍵詞：冪零矩陣若當(dāng)塊特征值冪零指數(shù)一、預(yù)備知識(shí)（下面的引理和概念來自《高等代數(shù)解題方法與技巧》　李師正　　高等教育出版社

2、、《高等代數(shù)》（第二版）北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等教育出版社、《高等代數(shù)選講》陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社及《高等代數(shù)習(xí)題集》（上冊）楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社）（一）一些概念1、令A(yù)為階方陣，若存在正整數(shù)，使，A稱為冪零矩陣。2、若A為冪零矩陣，滿足的最小正整數(shù)稱為A的冪零指數(shù)。3、設(shè)，稱為A的轉(zhuǎn)置，稱為A的伴隨矩陣。其中為A中元素的代數(shù)余子式4、設(shè)A為一個(gè)階方陣，A的主對角線上所有元素的和稱為A的跡，記為。5、主對角線上元素為0的上三角稱為嚴(yán)格的上三角。6、形為的矩陣稱為若當(dāng)塊，其中為復(fù)數(shù)，由若干個(gè)若當(dāng)塊組成和準(zhǔn)對角稱為若當(dāng)形矩陣。1、稱為

3、矩陣A的特征多項(xiàng)式。滿足的的值稱為矩陣A的特征值。2、次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的以A為根的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。（二）、一些引理引理1：設(shè)A，B為階方陣，則引理2：分別為矩陣A的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，則有。引理3：每一個(gè)階的復(fù)矩陣A都與一若當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。引理4：若當(dāng)形矩陣的主對角線上和元素為它的特征值。引理5：階復(fù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A和最小多項(xiàng)式無重根。引理6：相似矩陣具有相同的特征值。引理7：設(shè)為階矩陣A的特征值，則有，，且對任意的多項(xiàng)式有的特征值為。引理8

4、：階若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為且有。引理9：矩陣匠最小多項(xiàng)式就是矩陣A的最后一個(gè)不變因子。引理10：A，B為階復(fù)數(shù)域上的矩陣，若，則存在可逆矩陣T，使得。引理11：任意階A，B方陣，有。一、冪零矩陣的性質(zhì)（下面的性質(zhì)來自《高等代數(shù)解題方法與技巧》　李師正　高等教育出版社、《高等代數(shù)》（第二版）北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等教育出版社、《高等代數(shù)選講》陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社、《高等代數(shù)習(xí)題集》（上冊）楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社、《關(guān)于冪零矩陣性質(zhì)的探討》谷國梁銅陵財(cái)經(jīng)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)、《冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用》韓道蘭羅雁黃宗文玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)并綜合歸納得出

5、關(guān)于冪零矩陣的十一條性質(zhì)）性質(zhì)1：A為冪零矩陣的充分必要條件是A的特征值全為0。證明：為冪零矩陣令為A任意一個(gè)特征值，則由引理7知，為的特征值從而有=0即有又有，知為A的特征值。由的任意性知，A的特征值為0。的特征值全為0的特征多項(xiàng)式為由引理2知，所以A為冪零矩陣。得證性質(zhì)2：A為冪零矩陣的充分必要條件為。證明：為冪零矩陣，由性質(zhì)1，知：A的特征值全為0即由引理7，知的特征值為從而有由已知，(1.1)令為A的不為0的特征值且互不相同重?cái)?shù)為由（1.1）式及引理7，得方程組(1.2)由于方程組（1.2）的系數(shù)行列式為又互不相同且不為0，從而知，方程（1.2）

6、只有0解，即即A沒有非零的特征值的特征值全為0，由性質(zhì)1，得A為冪零矩陣得證性質(zhì)3：若A為冪零矩陣，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J的若當(dāng)塊為冪零若當(dāng)塊，且J和主對角線上的元素為0證明：A為冪零矩陣，由性質(zhì)1，知A的特征值全為0由引理3，知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得其中階數(shù)為由引理4，知為J和特征值又A與J相似，由引理6，知A與J有相同的特征值所以即J的主對角線上的元素全為0由引理8，知為冪零矩陣得證性質(zhì)4：若A為冪零矩陣，則A一定不可逆但有證明：為冪零矩陣，A一定不可逆由性質(zhì)1，得A的特征值為由引理7，得的特征值分別為且有即得證性質(zhì)5：若為冪零矩陣，則A非退化

7、證明：令為A的特征值若A退化，則有由引理7，得至少存在=0為A的特征值又由引理7，得為的一特征值這與為冪零矩陣矛盾得證A為非退化性質(zhì)6：若A為冪零矩陣，B為任意的階矩陣且有，則也為冪零矩陣證明：為冪零矩陣又也為冪零矩陣得證性質(zhì)7：若A為冪零矩陣且，則有證明：即任意，有即有性質(zhì)8：若A為冪零矩陣且，則A不可對角化但對任意的階方陣B，存在冪零矩陣N，使得可對角化證明：為冪零矩陣且A的特征值全為零為A的特征多項(xiàng)式且令為A的最小多項(xiàng)式，則有從而有由于，又此時(shí)即A的最小多項(xiàng)式有重根，由引理5，知A不可對角化為階方陣由引理3，知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得其中階

8、數(shù)為令階數(shù)為則有階數(shù)為由引理8，知即為冪零矩陣現(xiàn)令即又D為對角陣，由（1）式知可