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《冪零矩陣性質(zhì)應(yīng)用》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、-冪零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用數(shù)本041嚴益水學(xué)號:410401109摘要:冪零矩陣是一類特殊的矩陣,在矩陣理論中有重要的作用。它具有一些很好的性質(zhì)。本文從矩陣的不同角度討論了冪零矩陣的相關(guān)性質(zhì)。冪零矩陣與若當形矩陣結(jié)合可得一個很好性質(zhì),在解相關(guān)矩陣問題有很好作用,由此我們舉例說明,從例子中發(fā)現(xiàn)了問題并對此問題進行思考得出了一些結(jié)論,對冪零矩陣的研究很有意義。在一般矩陣中,求矩陣的逆比較麻煩,本文最后利用冪零矩陣特殊性討論了三類特殊矩陣逆的求法。關(guān)鍵詞:冪零矩陣若當塊特征值冪零指數(shù)一、預(yù)備知識(下面的引理和概念來
2、自《高等代數(shù)解題方法與技巧》 李師正 高等教育出版社、《高等代數(shù)》(第二版)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等教育出版社、《高等代數(shù)選講》陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社及《高等代數(shù)習(xí)題集》(上冊)楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社)(一)一些概念1、令A(yù)為階方陣,若存在正整數(shù),使,A稱為冪零矩陣。2、若A為冪零矩陣,滿足的最小正整數(shù)稱為A的冪零指數(shù)。3、設(shè),稱為A的轉(zhuǎn)置,稱為A的伴隨矩陣。其中為A中元素的代數(shù)余子式4、設(shè)A為一個階方陣,A的主對角線上所有元素的和稱為A的跡,記為。5、主對角線上元素為0的上三角
3、稱為嚴格的上三角。6、形為.---的矩陣稱為若當塊,其中為復(fù)數(shù),由若干個若當塊組成和準對角稱為若當形矩陣。1、稱為矩陣A的特征多項式。滿足的的值稱為矩陣A的特征值。2、次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的以A為根的多項式稱為A的最小多項式。(二)、一些引理引理1:設(shè)A,B為階方陣,則引理2:分別為矩陣A的特征多項式和最小多項式,則有。引理3:每一個階的復(fù)矩陣A都與一若當形矩陣相似,這個若當形矩陣除去若當塊的排序外被矩陣A唯一決定的,它稱為A的若當標準形。引理4:若當形矩陣的主對角線上和元素為它的特征值。引理5:階復(fù)
4、矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A和最小多項式無重根。引理6:相似矩陣具有相同的特征值。引理7:設(shè)為階矩陣A的特征值,則有,,且對任意的多項式有的特征值為。引理8:階若當塊的最小多項式為且有。引理9:矩陣匠最小多項式就是矩陣A的最后一個不變因子。引理10:A,B為階復(fù)數(shù)域上的矩陣,若,則存在可逆矩陣T,使得.---。引理11:任意階A,B方陣,有。一、冪零矩陣的性質(zhì)(下面的性質(zhì)來自《高等代數(shù)解題方法與技巧》 李師正 高等教育出版社、《高等代數(shù)》(第二版)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等教育
5、出版社、《高等代數(shù)選講》陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社、《高等代數(shù)習(xí)題集》(上冊)楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社、《關(guān)于冪零矩陣性質(zhì)的探討》谷國梁銅陵財經(jīng)??茖W(xué)校學(xué)報、《冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用》韓道蘭羅雁黃宗文玉林師范學(xué)院學(xué)報并綜合歸納得出關(guān)于冪零矩陣的十一條性質(zhì))性質(zhì)1:A為冪零矩陣的充分必要條件是A的特征值全為0。證明:為冪零矩陣令為A任意一個特征值,則由引理7知,為的特征值從而有=0即有又有,知為A的特征值。由的任意性知,A的特征值為0。的特征值全為0的特征多項式為由引理2知,所以A為冪零矩陣。得證性質(zhì)2:A為
6、冪零矩陣的充分必要條件為。證明:為冪零矩陣,由性質(zhì)1,知:A的特征值全為0即由引理7,知的特征值為.---從而有由已知,(1.1)令為A的不為0的特征值且互不相同重數(shù)為由(1.1)式及引理7,得方程組(1.2)由于方程組(1.2)的系數(shù)行列式為又互不相同且不為0,從而知,方程(1.2)只有0解,即即A沒有非零的特征值的特征值全為0,由性質(zhì)1,得A為冪零矩陣得證性質(zhì)3:若A為冪零矩陣,則A的若當標準形J的若當塊為冪零若當塊,且J和主對角線上的元素為0證明:A為冪零矩陣,由性質(zhì)1,知A的特征值全為0由引理3
7、,知在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣T,使得.---其中階數(shù)為由引理4,知為J和特征值又A與J相似,由引理6,知A與J有相同的特征值所以即J的主對角線上的元素全為0由引理8,知為冪零矩陣得證性質(zhì)4:若A為冪零矩陣,則A一定不可逆但有證明:為冪零矩陣,A一定不可逆由性質(zhì)1,得A的特征值為由引理7,得的特征值分別為且有即得證性質(zhì)5:若為冪零矩陣,則A非退化證明:令為A的特征值若A退化,則有由引理7,得至少存在=0為A的特征值又由引理7,得為的一特征值.---這與為冪零矩陣矛盾得證A為非退化性質(zhì)6:若A為冪零矩陣,B
8、為任意的階矩陣且有,則也為冪零矩陣證明:為冪零矩陣又也為冪零矩陣得證性質(zhì)7:若A為冪零矩陣且,則有證明:即任意,有即有性質(zhì)8:若A為冪零矩陣且,則A不可對角化但對任意的階方陣B,存在冪零矩陣N,使得可對角化證明:為冪零矩陣且A的特征值全為零為A的特征多項式且.---令為A的最小多項式,則有從而有由于,又此時即A的最小多項式有重根,由引理5,知A不可對角化為階方陣由引理3,知在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣T,使得其中階數(shù)為令階數(shù)為則有階數(shù)為由引理8