求函數(shù)極限方法的若干方法

《求函數(shù)極限方法的若干方法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、求函數(shù)極限方法的若干方法摘要：關鍵詞：1引言：極限的重要性極限是數(shù)學分析的基礎，數(shù)學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導數(shù)的定義，定積分的定義，偏導數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。2極限的概念及性質

2、2.1極限的概念2.1.1limn→∞xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當n>N時就有xn-A<ε。2.1.2limx→∞fx=A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當x>X時就有fx-A<ε。類似可以定義單側極限limx→+∞fx=A與limx→-∞f(x)。2.2.3，整數(shù)，使得當時有。類似可定義當時右極限與左極限：，。在此處鍵入公式。2.2極限的性質2.2.1極限的不等式性質：設，。若，則，當時有；若，使得當時有，則。2.2.1（推論）極限的保號性：設。若,則，當時有；若，使得當時有，則。2.2.2存在極限的函數(shù)

3、局部有界性：設存在極限，則在的某空心鄰域內有界，即與，使得當時有3求極限的方法1、定義法2、利用極限的四則運算性質求極限,3、利用夾逼性定理求極限4、利用兩個重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限,6、利用洛必達法則求極限,7、利用定積分求極限,8、利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限9、利用變量替換求極限,10、利用遞推公式求極限,11、利用等價無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限,13、利用泰勒展開式求極限,14、利用兩個準則求極限15、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限16、利用

4、單側極限求極限17、利用中值定理求極限3.1定義法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定的,總存在一個正整數(shù)，當時,都有,我們就稱是數(shù)列的極限.記為.例1證明證任給，取，則當時有，所以。3.2利用極限的四則運算性質求極限設，，則，，。例1求解這是求型極限，用相消法，分子、分母同除以得，其中。3.3利用夾逼性定理求極限當極限不易直接求出時,可考慮將求極限的變量作適當?shù)姆糯蠛涂s小,使放大與縮小所得的新變量易于求極限,且二者的極限值相同,則原極限存在,且等于公共值。特別是當在連加或

5、連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若，使得當時有，且，則。3.3.2（函數(shù)情形）若，使得當時有，又，則。例題解：，其中，，因此。3.4利用兩個重要極限球極限兩個重要極限是，或。第一個重要極限可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時，才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=.則sinx=sin(t)=sint,且當時故例題23.5利用迫

6、斂性求極限,且在某個內有,那么。例求的極限解：因為.且由迫斂性知所以3.6利用洛必達法則求極限假設當自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：和的極限都是或都是無窮大和都可導，并且的導數(shù)不為0存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達法則求極限，可連續(xù)進行運算，可簡化一些較復雜的函數(shù)求極限的過程，但是運用時需注意條件。例題求解原式=注：運用洛比達法則應注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時不可求導。2、應用洛必達法則，要分別求分子、分母的導數(shù)，而不是求整個分式的導數(shù)。3

7、、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會錯誤。3.7利用定積分求極限利用定積分求和式的極限時首先選好恰當?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。例解原式=，由定積分的定義可知。3.8利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時,這個無窮小

8、量可用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡單化。例解注意時，，。3.9利用變量替換求極限為將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點，適當?shù)囊胄伦兞浚瑏硖鎿Q原有變量，使原來的極限過程轉化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例已知試證證令則時，于是當時第二、三項趨于零，現(xiàn)在證明第四項極限也為零。因（當時），故有界，即，使得。所以原式得證。3.10利用遞推公式求極限用遞推公式計算或者證明