求函數(shù)極限方法的若干方法

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1、求函數(shù)極限方法的若干方法摘要：關(guān)鍵詞：1引言：極限的重要性極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念

2、2.1.1limn→∞xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時就有xn-A<ε。2.1.2limx→∞fx=A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng)x>X時就有fx-A<ε。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞fx=A與limx→-∞f(x)。2.2.3，整數(shù)，使得當(dāng)時有。類似可定義當(dāng)時右極限與左極限：，。在此處鍵入公式。2.2極限的性質(zhì)2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)，。若，則，當(dāng)時有；若，使得當(dāng)時有，則。2.2.1（推論）極限的保號性：設(shè)。若,則，當(dāng)時有；若，使得當(dāng)時有，則。2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限，則在的某

3、空心鄰域內(nèi)有界，即與，使得當(dāng)時有3求極限的方法1、定義法2、利用極限的四則運算性質(zhì)求極限,3、利用夾逼性定理求極限4、利用兩個重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限,6、利用洛必達(dá)法則求極限,7、利用定積分求極限,8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限9、利用變量替換求極限,10、利用遞推公式求極限,11、利用等價無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限,13、利用泰勒展開式求極限,14、利用兩個準(zhǔn)則求極限15、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限16、利用單側(cè)極限求極限17、利用中值定理求極限3.1定義

4、法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定的,總存在一個正整數(shù)，當(dāng)時,都有,我們就稱是數(shù)列的極限.記為.例1證明證任給，取，則當(dāng)時有，所以。3.2利用極限的四則運算性質(zhì)求極限設(shè)，，則，，。例1求解這是求型極限，用相消法，分子、分母同除以得，其中。3.3利用夾逼性定理求極限當(dāng)極限不易直接求出時,可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小,使放大與縮小所得的新變量易于求極限,且二者的極限值相同,則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。

5、3.3.1（數(shù)列情形）若，使得當(dāng)時有，且，則。3.3.2（函數(shù)情形）若，使得當(dāng)時有，又，則。例題解：，其中，，因此。3.4利用兩個重要極限球極限兩個重要極限是，或。第一個重要極限可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時，才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=.則sinx=sin(t)=sint,且當(dāng)時故例題23.5利用迫斂性求極限,且在某個內(nèi)有,那么。例求的極限解：因為.且由迫斂性知所以3.6利用洛

6、必達(dá)法則求極限假設(shè)當(dāng)自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：和的極限都是或都是無窮大和都可導(dǎo)，并且的導(dǎo)數(shù)不為0存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運用時需注意條件。例題求解原式=注：運用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時不可求導(dǎo)。2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛

7、必達(dá)法則，否則會錯誤。3.7利用定積分求極限利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。例解原式=，由定積分的定義可知。3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時,這個無窮小量可用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡單化。例解注意時，，。3.9利用變量替換求極限為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)

8、化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞?，來替換原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例已知試證證令則時，于是當(dāng)時第二、三項趨于零，現(xiàn)在證明第四項極限也為零。因（當(dāng)時），故有界，即，使得。所以原式得證。3.10利用遞推公式求極限用遞推公式計算或者證明