數(shù)學(xué)建模的多種作戰(zhàn)模型

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1、數(shù)學(xué)建模中的作戰(zhàn)模型在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn)·W蘭徹斯特（Lanchester）投身于作戰(zhàn)模型的研究，他建立了一些可以從中得到交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型，并得到了一個很重要的“蘭徹斯特平方定律”：作戰(zhàn)部隊(duì)的實(shí)力同投入戰(zhàn)斗的戰(zhàn)士人數(shù)的平方成正比。對于一次局部戰(zhàn)斗，有些因素可以不考慮，如氣候，后勤供應(yīng)，士氣的高低，而有些因素我們把雙方看成是相同的，如武器配備，指揮藝術(shù)。還可簡單地認(rèn)為兩軍的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的士兵人數(shù)。兩軍士兵都處于對方火力范圍內(nèi)，由于戰(zhàn)斗緊迫，短暫，也不考慮支援部隊(duì)。一、正規(guī)戰(zhàn)模型：令表ｔ時刻甲軍人數(shù),表ｔ時刻乙軍人數(shù)：在以上假設(shè)下，顯然甲軍人數(shù)的減員率與乙軍人數(shù)成

2、正比，同樣乙軍減員率與甲軍人數(shù)成正比．可得正規(guī)部隊(duì)對正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(1)其中a>0，b>0均為常數(shù)，積分（1）得(2)這就是“蘭徹斯特平方定律”，（2）式在X-Y平面上是一族雙曲線。如圖17.8所示，雙曲線上的箭頭表示戰(zhàn)斗力隨著時間而變化的方向。由圖17.8可知，乙軍要想獲勝，即要使不等式成立?？刹捎脙煞N方式：(1)增加a，即配備更先進(jìn)的武器；(2)增加最初投入戰(zhàn)斗的人數(shù)。但是，值得注意的是：在上式中，a增大兩倍，結(jié)果也增大兩倍，但增大兩倍則會使增大四倍。這正是兩軍擺開戰(zhàn)場作正規(guī)戰(zhàn)時蘭徹斯特平方定律的意義，說明兵員增加戰(zhàn)斗力將大大增加?！　∪绻紤]兩軍作戰(zhàn)時有增援，令

3、和分別表示甲軍和乙軍t時刻的增援率，所謂增援率，就是增援戰(zhàn)士投入戰(zhàn)斗或戰(zhàn)士撤離戰(zhàn)斗的速率。此時正規(guī)部隊(duì)對正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(3)現(xiàn)在回答一開始時提出的問題，設(shè)甲軍有m=100人，乙軍有n=50人，兩軍裝備性能相同，y(t)c>0:乙軍勝c<0:甲軍勝c=0:不分勝負(fù)x(t)圖17.8即令，沒有援軍，將(2)變?yōu)?4)將y=100，x=50代入(4)式得(5)再將c/a=7500代入(17.29)式得(6)戰(zhàn)斗結(jié)束一方人數(shù)為零，顯然這里乙軍x=0，代入(6)式得即甲軍戰(zhàn)死13人，剩下87人，乙軍50人全部被消滅。二、混合戰(zhàn)模型：如果甲軍是游擊隊(duì)，乙軍是正規(guī)部隊(duì)，由于游擊隊(duì)對

4、當(dāng)?shù)氐匦问欤３Ｎ挥诓灰装l(fā)現(xiàn)的有利地形。設(shè)游擊隊(duì)占據(jù)區(qū)域R，由于乙軍看不清楚甲軍，只好向區(qū)域R射擊，但并不知道殺傷情況。我們認(rèn)為如下的假設(shè)是合理的：游擊隊(duì)x的戰(zhàn)斗減員率應(yīng)當(dāng)與x(t)成正比，因?yàn)閤(t)越大，目標(biāo)越大，被敵方子彈命中的可能性越大；另一方面游擊隊(duì)x(t)的戰(zhàn)斗減員率還與y(t)成正比，因?yàn)閥(t)越大，火力越強(qiáng)，x的傷亡人數(shù)也就越大。因此游擊隊(duì)x的戰(zhàn)斗減員率等于cx(t)y(t)，常數(shù)c稱為敵方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。如果f(t)和g(t)分別為游擊隊(duì)和正規(guī)部隊(duì)增援率，則游擊隊(duì)和正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(7)若無增援f(t)和g(t)，則(7)式為(8)積分(8)式得M>

5、0：乙勝M(fèi)=0:不分勝負(fù)圖17.9x(t)M<0:甲勝y(t)(9)(9)式在x-y平面上定義了一族拋物線，如圖17.9所示：如果M>0，則正規(guī)部隊(duì)勝，因?yàn)楫?dāng)y(t)減小到，部隊(duì)x已經(jīng)被消滅。同樣，如M<0，則游擊隊(duì)勝。三、游擊戰(zhàn)模型：0　　若甲乙雙方都是游擊部隊(duì)，則雙方都隱蔽在對方不易發(fā)現(xiàn)的區(qū)域內(nèi)活動。由混合戰(zhàn)部分的分析，得游擊戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型(10)其中f(t)和g(t)分別是甲軍和乙軍的增援率，常數(shù)c是乙軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，常數(shù)d是甲軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。如果甲乙雙方增援率均為零，則游擊戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型為(11)y(t)(11)的解為(12)0L<0:X獲勝圖17.10線性解L=0:平

6、局L>0:Y獲勝x(t)(12)式在x-y平面上定義了一族直線。如圖17.10所示：如果m>0，則乙方勝；如果m<0，則甲方勝；如m=0則雙方戰(zhàn)平。幾點(diǎn)說明：(1)在模型(3)中，如果a、b、f(t)和g(t)已知，則可用顯式求解。但在模型(7)中，因方程組是非線的，求解困難，可利用計算機(jī)求解。(2)事前確定戰(zhàn)斗有效系數(shù)a、b、c和d的數(shù)值通常是不可能的，但是如果對已有的戰(zhàn)役資料來確定a和b(或者c和d)的適當(dāng)系數(shù)值，那么對于其他類似于同樣條件下進(jìn)行的戰(zhàn)斗，a和b(或c和d)這些系數(shù)就可以認(rèn)為是已知的了。因此，在以上意義下，蘭徹斯特作戰(zhàn)模型仍然具有普遍意義。J·H·Enge

7、l將第二次世界大戰(zhàn)時美國和日本為爭奪硫磺島所進(jìn)行的戰(zhàn)斗資料進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)與蘭徹斯特作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型非常吻合，這就說明了蘭徹斯特作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型是能夠用來描述實(shí)際戰(zhàn)爭的。下面介紹二戰(zhàn)時期著名的硫磺島戰(zhàn)役：四、硫磺島戰(zhàn)役硫磺島位于東京以南1062km，面積僅有20.7km，是日軍的重要軍事基地。美軍想要奪取硫磺島作為轟炸日本本土?xí)r的轟炸機(jī)基地，而日本需要硫磺島作為戰(zhàn)斗機(jī)基地，以便攻擊美國的轟炸機(jī)。美軍從1945年2月19日開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個多月，雙方傷亡十分慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美軍投入兵力73