兩個單調(diào)函數(shù)乘積的單調(diào)性畢業(yè)論文

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1、兩個單調(diào)函數(shù)乘積的單調(diào)性畢業(yè)論文目錄摘要：I關(guān)鍵詞IAbstractII1引言12單調(diào)函數(shù)基本理論12.1定義12.2性質(zhì)33單調(diào)函數(shù)的判定33.1定義法33.2利用復(fù)合函數(shù)性質(zhì)判定43.3利用反函數(shù)性質(zhì)判定53.4利用奇、偶函數(shù)性質(zhì)判定63.5求導(dǎo)法74函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用84.1求函數(shù)的極值、最值以及值域84.2證明不等式94.3證明方程根的存在性以及判斷根的個數(shù)115探討兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)情況115.1影響兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性的可能因素115.2利用導(dǎo)數(shù)證明兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)情況125.2.1乘積函數(shù)求導(dǎo)法則125.2.2分情況討論兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的

2、單調(diào)性135.3舉例論證相關(guān)結(jié)論146結(jié)束語15致謝16參考文獻(xiàn)17171引言單調(diào)函數(shù)是歷年高考考查的重要內(nèi)容之一，考查方式之廣，考查題目之多，無疑成為了老師教學(xué)的重點和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.當(dāng)只討論一個簡單函數(shù)的單調(diào)性時，問題并不難解決，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性問題.難點就在于函數(shù)經(jīng)過運(yùn)算之后的單調(diào)性問題，比如兩個單調(diào)函數(shù)相乘或者是相除之后得到的新函數(shù)單調(diào)性問題.對于這一點，有不少人會有錯誤的理解，如認(rèn)為“兩個單調(diào)增加函數(shù)的乘積必為單調(diào)增加函數(shù)”或者是“兩個單調(diào)減少函數(shù)的乘積必為單調(diào)減少函數(shù)”.這兩種說法具體錯在哪里呢？下面我們將緊緊圍繞著函數(shù)單調(diào)性這個問題進(jìn)行研究探討.2單調(diào)

3、函數(shù)基本理論2.1定義設(shè)函數(shù)的定義域為，若，且時，有（或），則稱函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.若上式中等號不成立，即（或），則稱函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）.函數(shù)在上單調(diào)增加、單調(diào)減少與嚴(yán)格單調(diào)增加、嚴(yán)格單調(diào)減少，均可稱為函數(shù)在上單調(diào).嚴(yán)格單調(diào)增加與嚴(yán)格單調(diào)減少稱為嚴(yán)格單調(diào).定義域稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.特別地，常數(shù)函數(shù)既是單調(diào)增加函數(shù)，又是單調(diào)減少函數(shù)【1】.（圖2.1單調(diào)增加函數(shù)）（圖2.2單調(diào)減少函數(shù)）例：幾個常見函數(shù)的單調(diào)性.（1）指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，在上嚴(yán)格單調(diào)減少，當(dāng)時，在上嚴(yán)格單調(diào)增加；（2）對數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，在上嚴(yán)格單調(diào)減少，當(dāng)時，17在上嚴(yán)格單調(diào)增加；（

4、3）二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)開口向上，在上嚴(yán)格單調(diào)減少，在上嚴(yán)格單調(diào)增加，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，在上嚴(yán)格單調(diào)增加，在上嚴(yán)格單調(diào)減少.（指數(shù)函數(shù)，）（指數(shù)函數(shù)，）（對數(shù)函數(shù)，）（對數(shù)函數(shù)）（二次函數(shù)，）（二次函數(shù)，）（4）反正切函數(shù)在上嚴(yán)格增加，反余切函數(shù)在上嚴(yán)格減少；（5）一次函數(shù)，當(dāng)時，在上嚴(yán)格減少，當(dāng)時，在上嚴(yán)格17增加；2.2性質(zhì)性質(zhì)2.1若函數(shù)為增函數(shù)，則其圖像在單調(diào)區(qū)間上逐漸上升（因變量隨著自變量的增加而增大）；若函數(shù)為減函數(shù)，則其圖像在單調(diào)區(qū)間上逐漸下降（因變量隨著自變量的增加而減?。?性質(zhì)2.2是在上的單調(diào)增加函數(shù)，若，則在上是單調(diào)增加函數(shù)，若，則在上是單調(diào)減少函

5、數(shù).性質(zhì)2.3設(shè)都是在上的單調(diào)增加函數(shù)，則函數(shù)也是在上是單調(diào)增加函數(shù).證：，且，由題意有與，則它們的和有，，即它們的和在上也是單調(diào)增加.性質(zhì)2.4若都是在上的非負(fù)單調(diào)增加函數(shù)，則在上是單調(diào)增加函數(shù).性質(zhì)2.5若是在上的正單調(diào)增加函數(shù)，則它的倒函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；性質(zhì)2.6若函數(shù)和分別在定義域和上單調(diào)，則復(fù)合函數(shù)在其定義域內(nèi)也單調(diào)，當(dāng)且僅當(dāng)和同指向單調(diào)時單調(diào)增加（在3.2中將給出詳細(xì)證明）.性質(zhì)2.7若是在上的單調(diào)函數(shù)，則的反函數(shù)在上也是單調(diào)函數(shù)，且與單調(diào)性相同（在3.3中將給出詳細(xì)證明）.性質(zhì)2.8由奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，可知其在原點兩側(cè)的單調(diào)性相同；由偶函數(shù)

6、的圖像關(guān)于原點成軸對稱，可知其在原點兩側(cè)的單調(diào)性相反.3單調(diào)函數(shù)的判定在熟悉了有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)之后，我們可以推出幾種判別函數(shù)單調(diào)性的方法，如定義法，復(fù)合函數(shù)法，反函數(shù)法，奇、偶函數(shù)法.除此之外，我們還可以利用導(dǎo)數(shù)這一工具，簡單而有效地判斷出函數(shù)的單調(diào)性，下面將對這些方法一一進(jìn)行討論.3.1定義法設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定義域內(nèi)的兩個任意自變量，一般假設(shè)，給出函數(shù)之后，我們用2.1中的定義來判斷函數(shù)在上的單調(diào)性.一般步驟如下：（1）在定義域內(nèi)任取，且；17（2）比較和的大小，一般用差值法，令；（3）若，則函數(shù)在上單調(diào)增加；若，則函數(shù)在上單調(diào)減少.例：判斷函數(shù)在其定義

7、域內(nèi)的單調(diào)情況.解：當(dāng)時，任取且，則，又因為，且，所以，即，可知在上單調(diào)減少.同理可證：在區(qū)間上，也單調(diào)減少，所以函數(shù)在定義域單調(diào)減少.3.2利用復(fù)合函數(shù)性質(zhì)判定定義3.1【1】設(shè)函數(shù)定義域為，函數(shù)定義域為，是定義域中使的，關(guān)于的非空子集，即由對應(yīng)關(guān)系可知，對應(yīng)唯一一個，又由對應(yīng)關(guān)系可知，對應(yīng)唯一一個.所以由對應(yīng)關(guān)系和可知，都有唯一一個與之對應(yīng)，于是在上定義一個函數(shù)，稱為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，即，稱為中間變量.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性相關(guān)結(jié)論如下【7】：（1）、在定義域內(nèi)單調(diào)性相同時，函數(shù)單調(diào)增加；（2）、在定義域內(nèi)單調(diào)性相反時，函數(shù)單調(diào)減