利用幾何知識求函數(shù)最值

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1、分類號密級UDC編號本科畢業(yè)論文(設計)題目利用幾何知識求函數(shù)的最值_所在院系數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)名稱數(shù)學與應用數(shù)學年級10級學生姓名梁宏亮學號1050410021指導教師王瑩二零一四年三月學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在王瑩老師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。作者簽名：日期：文獻綜述一、概述函數(shù)是數(shù)學的一個重要組成部分，貫穿數(shù)學學習的許多方面。而最值作為函數(shù)的一個重要形態(tài)就顯得尤為

2、重要，現(xiàn)實社會中的許多問題都能用最值問題求解，所以它往往是數(shù)學函數(shù)解題的一個難點。理解最值的含義從而選取最簡單、有效的方法求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點。另外，幾何是中學數(shù)學學習的重點。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題解決，更加便于理解。如何把數(shù)和形完美連接起來，使之通俗易懂就顯得尤為重要。本文從已經(jīng)學習過的求函數(shù)最值的方法入手，通過對例題的分析與探討，并對用幾何知識求函數(shù)最值的兩種方法：數(shù)形結(jié)合與向量法進行了總結(jié)和歸納。最后用一、兩道題論述了在解決

3、一些基本例題應該對兩種方法如何取舍并對兩者優(yōu)劣進行了對比。二、主題1用幾何知識解決函數(shù)最值的選題依據(jù)和研究現(xiàn)狀1.1選題依據(jù)一方面，函數(shù)是數(shù)學的一個重要組成部分，貫穿數(shù)學學習的許多方面。而最值作為函數(shù)的一個重要形態(tài)就顯得尤為重要，但同時，它又是函數(shù)學習的一個難點。函數(shù)最值的求解伴隨著著整個函數(shù)的學習且方法又多種多樣，理解最值的含義從而選取最簡單、有效的求解函數(shù)的最值成為關(guān)鍵點。另一方面，幾何是中學數(shù)學學習的重點。但它又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它能把枯燥的函數(shù)字符轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，簡單明了便于研究。很多函數(shù)最值問題都能轉(zhuǎn)化成“形”的問題

4、解決，更加便于理解。通過對用幾何知識求函數(shù)最值的研究，熟練的掌握相關(guān)的知識，對所學的知識進行運用。對所學的幾種幾何知識求最值的方法進行歸納總結(jié)和對比，方便以后的學習使用。1.2用幾何知識求函數(shù)最值的研究現(xiàn)狀最值問題是一類常見而又重要問題，也是生活、生產(chǎn)、科研活動中常能遇見的一類問題。對于一些函數(shù)，用常規(guī)方法顯得太過于繁瑣，但若能經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)換，運用幾何知識求解往往能化難為易。查閱資料發(fā)現(xiàn)，目前用幾何知識求函數(shù)最值主要有以下兩種：數(shù)形結(jié)合和向量法。需要注意的是數(shù)形結(jié)合又可以分為：（1）把最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像截距；（2）把函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為兩點間

5、的距離；（3）構(gòu)造矩形、立方體和斜率等。除這幾種方法外，面對復雜的函數(shù)組，我們需要用到線性規(guī)劃的知識求解。在使用向量法求解函數(shù)的最值時，我們需要學會構(gòu)造與函數(shù)相符的向量，巧妙求解。2用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值2.1轉(zhuǎn)化為截距求函數(shù)最值在中學數(shù)學中，有一些數(shù)學問題并未直接給出函數(shù)讓你求解，必需通過先構(gòu)造出一個函數(shù)然后經(jīng)過轉(zhuǎn)化為我們已知的數(shù)形結(jié)合方法去求所構(gòu)造函數(shù)最值，從而對數(shù)學問題構(gòu)成求解。在中學數(shù)學中最常用到的便是一次函數(shù)的截距。一次函數(shù)構(gòu)造簡單，而且便于計算。只需要構(gòu)造好函數(shù)后令或即可簡便求出最值。2.2轉(zhuǎn)化為兩點間的距離距離公式：若、，

6、則AB間的距離為。一些特定的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為形如的類型。這樣就能用兩點間的距離和位置關(guān)系迅速解題。2.3構(gòu)造法構(gòu)造法是數(shù)學研究和學習中常常會用到的方法，那么在用幾何知識求函數(shù)最值時是時時會用到的。而構(gòu)造我們熟悉的平面圖形和立體圖形求解又是最常用的方法。3用向量法求函數(shù)最值向量是中學數(shù)學中的一個重要模塊，它能把許多代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，便于理解。在利用向量解決函數(shù)最值時，我們好用到向量的兩個主要特征：向量三角不等式：向量數(shù)量積的性質(zhì)：在用向量法求解時要注意兩點：一方面對向量的構(gòu)造一定要合理恰當。觀察函數(shù)的形式，選擇最為方便的向量構(gòu)造，往往

7、是否用向量法快速求出函數(shù)最值的關(guān)鍵。另一方面，運用向量法時，我們更多的會用到不等式的知識，而在運用不等式時，一定要注意等號成立的條件。4數(shù)形結(jié)合與向量法的優(yōu)劣比較數(shù)形結(jié)合和向量法在解決這類題目時各有千秋，在解決一道題時如何選擇方法就變得尤為重要。通過對一道題的分析找出優(yōu)缺點。二、結(jié)論對于函數(shù)的最值問題，能否用幾何知識求解的前提是該函數(shù)或者其變形是否具有一定的幾何意義。因此，尋找?guī)缀我饬x是能否用幾何知識解題的關(guān)鍵。通過挖掘問題的幾何意義構(gòu)造相應的幾何模型，將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，找出簡單解法。對于比較簡單的函數(shù)最值問題，通過直接轉(zhuǎn)化

8、，就能得到幾何意義，這就要求我們善于觀察和熟練掌握幾何知識，從而能快速分析函數(shù)幾何意義。相對的，對于比較復雜的函數(shù)，要有創(chuàng)新精神，通過大膽的構(gòu)造，把函數(shù)潛在的幾何意義完全的發(fā)掘出來，從而解題，同時要培養(yǎng)聯(lián)想