利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

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1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值高二蘇庭　　導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具，在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最有效等類似的應(yīng)用問題廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面?！　?dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)，高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，高考對這部分內(nèi)容的考查將仍會(huì)以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題為主，如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值、最值和單調(diào)性問題和曲線的問題等，考題不難，側(cè)重知識(shí)之意。　　導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有以下三個(gè)方面：　?、龠\(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性和

2、最值問題，　　②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率。函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)P（x0,y0）處的切線斜率。由導(dǎo)數(shù)來求最值問題的方法可知，解這類實(shí)際問題需先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點(diǎn)，確定最值點(diǎn)及最值．在設(shè)變量時(shí)可采用直接法也可采用間接法．求函數(shù)極值時(shí)，導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件。　　運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：　?。?）求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)；　?。?）在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。例題剖析例1、求函數(shù)的值域.分析：　　求函數(shù)的值

3、域以前學(xué)過一些方法，也可利用求導(dǎo)的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.解答：　　函數(shù)的定義域由求得，即x≥－2.　　　　當(dāng)x>－2時(shí)，y′>0，即函數(shù)，在（－2，＋∞）上是增函數(shù)，又f(－2)=－1，∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞）.點(diǎn)評(píng)：　?。?）從本題的解答過程可以看到，當(dāng)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的值域相同時(shí)，才可使用此法，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.　　（2）求值域時(shí)，當(dāng)x=－2，函數(shù)不可導(dǎo)，但函數(shù)在[－2，＋∞）上是連續(xù)的，函數(shù)圖象是連續(xù)變化的，因此在x=－2時(shí)，取得最小值.例2、把長度為16cm的線段分成兩段，各圍成一個(gè)正方形，它們的面積之和的最小值為多少？分析：建立面積和與一正方

4、形的周長的函數(shù)關(guān)系，再求最小值．解答：設(shè)一段長為xcm，則另一段長(16－x)cm．　　∴面積和　　∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．　　列表：x(0，8)8(8，16)S′－0＋　　∴當(dāng)x＝8時(shí)，S有最小值8cm2．點(diǎn)評(píng)：這是解實(shí)際應(yīng)用題的一般方法．先構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再求滿足條件的解，極值或最值．例3、如圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有個(gè)內(nèi)接矩形ABCD，求這個(gè)矩形面積的最大值。解析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)且0

5、BC

6、=4-2x,

7、BA

8、

9、=f(x)=4x-x2?！　　嗑匦蚊娣e為y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3　　y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)　　令y'=0，解得，∵0