序列的收斂性與子序列的收斂性

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1、序列的收斂性與子序列的收斂性摘要:　本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關(guān)系情況，分析和推導(dǎo)Bolzano-Welerstrass定理和一些結(jié)論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應(yīng)用于控制收斂定理的一個(gè)重要推廣，這對(duì)于我們進(jìn)一步了解序列與子序列之間的關(guān)系有著一定的意義。關(guān)鍵詞:序列；子序列；收斂；極限1引言在數(shù)學(xué)分析里，對(duì)于序列的研究主要是極限問題，但沒有較系統(tǒng)地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關(guān)系;本文主要分析序列與子序列之間的關(guān)系，從中得出一些定理和結(jié)論，這對(duì)于我們對(duì)序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關(guān)系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關(guān)系2.1序列和子

2、序列的定義定義：若函數(shù)的定義域?yàn)檎麄€(gè)全體正整數(shù)集合，則稱　　　　或?yàn)樾蛄?。因?yàn)檎麛?shù)集合的元素可按照由大到小的順序排列，故序列也可以寫為　　　　　　　　或者簡(jiǎn)單地記為，其中稱為該序列的通項(xiàng)。序列可分為有界序列，無(wú)界序列，單調(diào)序列，常序列或周期序列等。從序列中將其項(xiàng)抽出無(wú)窮多項(xiàng)來，按照它們?cè)谠瓉硇蛄兄械捻樞蚺懦梢涣校海?，，，又得一個(gè)新的序列，稱為原來序列的子序列。易見中的第k項(xiàng)是中的第項(xiàng)，所以總有，事實(shí)上本身也是的一個(gè)子序列，且是一個(gè)最大的子序列（=時(shí)）。72.2序列與子序列之間的若干關(guān)系定理1（Bolzano-Welerstrass）：若序列有界，則必存在收斂子序列，若序列無(wú)界，則必存

3、在子序列，使（或）.證明：（1）不妨設(shè)中有無(wú)限多個(gè)不同的項(xiàng)，否則結(jié)論顯然成立．用有限覆蓋定理(見注釋①)來證明結(jié)論．設(shè)序列為一有界序列，則存在，使下面先證明在中存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)任一鄰域內(nèi)有中的無(wú)窮多項(xiàng)．用反證法,若此斷言不成立，則對(duì)任意都存在一鄰域，在此鄰域內(nèi)它有中的有限項(xiàng)，構(gòu)成的一開區(qū)間覆蓋．由有限覆蓋定理,存在有限子覆蓋，即存在，使依反證假設(shè)，中至多含有的有限項(xiàng)與矛盾．據(jù)以上證明，存在，又在中，存在一項(xiàng)使，否則與的任何鄰域中有的無(wú)窮項(xiàng)矛盾，同樣我們可以在中找到一項(xiàng)，使在中找到一項(xiàng)使，最終得到一個(gè)序列滿足：（i）是的子序列7（ii）于是，由（i）和（ii）知，是的收斂子序列．（2）另

4、外對(duì)于無(wú)界序列，則可以利用序列無(wú)界定義，類似（1）后面一部分可以證明出存在子序列.例1：對(duì)于有界序列，它存在子序列收斂于1，當(dāng).例2：對(duì)于無(wú)界序列，它的一切子序列都發(fā)散到.以上是關(guān)于序列與其子序列在序列有界和無(wú)界的情況下進(jìn)行的關(guān)系探討，進(jìn)一步對(duì)于單調(diào)有界序列分析，我們有如下定理：定理2：若為單調(diào)有界序列，為的一個(gè)子序列，且有，則有．證明：由于是單調(diào)有界序列，可根據(jù)序列單調(diào)有界定理(見注釋②)知道，收斂，而存在，現(xiàn)假設(shè)記為，即，由定義，對(duì)，，使當(dāng)時(shí)候，有由于是的子序列，且，故對(duì)上述，，使當(dāng)時(shí)，就有又取，當(dāng)時(shí)，就有，于是有：由==即有成立，所以成立.7例3設(shè)序列，為的一個(gè)子序列且有，,則有

5、.3序列與子序列的三個(gè)定理定理3：序列收斂于的充要條件是它的任何子序列也都收斂于同一個(gè)極限．證明：依題意，設(shè)，為的一個(gè)子序列，于是對(duì)于任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)就有，因?yàn)槭堑淖有蛄?，故有，所以?dāng)時(shí),,從而有：按照序列極限定義知,即收斂且與的極限相同．反之若序列的任一子序列都收斂，且有相同的極限，因?yàn)楸旧頌樽约旱囊粋€(gè)子序列，所以有.定理4：序列收斂的充要條件是奇子序列與偶子序列都收斂，且它們的極限相等.證明：根據(jù)定理3，序列的奇子序列與偶子序列，且它們的極限相等.設(shè).根據(jù)序列極限的定義，即于是，，有，即.（證畢）定理5：若序列收斂于的充要條件是的任一子序列7中必有子序列,使得.證明：由定理3

6、我們可以知道:若序列收斂于，則它的任何子序列也都收斂于同一個(gè)極限，由題意必要性得證.已知序列的任一子序列中必有子序列,使得，則由定理3有.用反證法,假設(shè)則必然存在，對(duì)于任意自然數(shù)，都有時(shí),有當(dāng)時(shí)，，使當(dāng)時(shí)，有，使…………當(dāng)時(shí)，有，使…………由此可以得到的一個(gè)子序列，它的每一項(xiàng)都滿足，故不收斂于，且中不存在收斂于的子序列,這與已知矛盾，因此成立。4序列與子序列定理的應(yīng)用4.1定理3的應(yīng)用利用定理3，可以用來判定一個(gè)序列不收斂的情況．即若對(duì)一個(gè)序列，可以找到兩個(gè)不可能有相同極限的子序列和則有必發(fā)散。例4證明發(fā)散。證明：因下述兩區(qū)間長(zhǎng)度均大于1，故必存在自然數(shù)和滿足：7，顯然，及且，，因此，

7、和是兩個(gè)不可能有相同極限的子序列，這證明了發(fā)散.4.2定理5的應(yīng)用應(yīng)用定理5，可以判斷一個(gè)序列收斂。例5（控制收斂定理的推廣）設(shè)為一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為，又設(shè)隨機(jī)變量序列滿足，，且，則有成立．引理1:設(shè)及均為實(shí)值可測(cè)函數(shù),且,則存在子序列,使,.引理2(控制收斂定理):設(shè)為一隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為,若隨機(jī)變量序列滿足以下成立:,,,且,則有.(見注釋③)證明：由知,對(duì)的任一子序列均有.由引理1,必存在的子序列,使得.于是用引理2就有.由于子序